Упражнение 93 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{a^2 + 3a}{ab - 5b + 8a - 40} - \frac{a}{b + 8}=\)

\( =\frac{a^2 + 3a}{b(a - 5) + 8(a - 5)} - \frac{a}{b + 8}=\)

\( =\frac{a^2 + 3a}{(a - 5)(b + 8)} - \frac{a}{b + 8} ^{\color{blue}{\backslash{a-5}}} =\)

\( =\frac{a^2 + 3a - a(a-5)}{(a - 5)(b + 8)} =\)

\( =\frac{\cancel{a^2} + 3a - \cancel{a^2} + 5a}{(a - 5)(b + 8)} =\)

  \(=\frac{8a}{(a-5)(b+8)}. \)

б) \( \frac{y}{3x - 2} - \frac{3y}{6xy + 9x - 4y - 6}=\)

\( =\frac{y}{3x - 2} - \frac{3y}{3x(2y + 3) - 2(2y + 3)}=\)

\( =\frac{y}{3x - 2} ^{\color{blue}{\backslash{2y+3}}} - \frac{3y}{(3x - 2)(2y + 3)}=\)

\(= \frac{y(2y+3) - 3y}{(3x-2)(2y+3)} =\)

\(=\frac{2y^2 + \cancel{3y} - \cancel{3y}}{(3x-2)(2y+3)} =\)

\(=\frac{2y^2}{(3x-2)(2y+3)}. \)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При приведении дробей к общему знаменателю, раскладываем на множители способом группировки один из знаменателей рассматриваемых дробей.

2) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

3) Распределительное свойство умножения:

\(a(b+c) = ab+ac\);

\(a(b-c) = ab-ac\).

а) \( \frac{b - 6}{4 - b^2} + \frac{2}{2b - b^2}=\)

\(= \frac{b-6}{(2-b)(2+b)} ^{\color{blue}{\backslash{b}}} + \frac{2}{b(2-b)} ^{\color{blue}{\backslash{2+b}}} = \)

\(=\frac{b(b-6) + 2(2+b)}{b(2-b)(2+b)} =\)

\(=\frac{b^2-6b + 4+2b}{b(2-b)(2+b)} =\)

\(=\frac{b^2 -4b +4}{b(2-b)(2+b)} =\)

\(=\frac{(b-2)^2}{b(2-b)(b+2)} = \)

\(=\frac{(2-b)^2}{b(2-b)(b+2)} = \frac{2-b}{b(b+2)} \)

б)\( \frac{b}{ab - 5a^2} - \frac{15b - 25a}{b^2 - 25a^2}=\)

\(= \frac{b}{a(b-5a)} ^{\color{blue}{\backslash{b+5a}}} - \frac{15b-25a}{(b-5a)(b+5a)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\frac{b(b+5a) - a(15b-25a)}{a(b-5a)(b+5a)} =\)

\(=\frac{b^2+5ab - 15ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)} =\)

\(=\frac{b^2 -10ab +25a^2}{a(b-5a)(b+5a)} =\)

\(=\frac{(b-5a)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(b-5a)}(b+5a)} = \frac{b-5a}{a(b+5a)}.\)

в) \( \frac{x - 12a}{x^2 - 16a^2} - \frac{4a}{4ax - x^2}=\)

\(= \frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} + \frac{4a}{x(x-4a)} ^{\color{blue}{\backslash{x+4a}}} =\)

\(=\frac{x(x-12a) + 4a(x+4a)}{x(x-4a)(x+4a)} =\)

\(=\frac{x^2-12ax + 4ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)} =\)

\(=\frac{x^2 -8ax +16a^2}{x(x-4a)(x+4a)} =\)

\(=\frac{(x-4a)^{\cancel{2}}}{x\cancel{(x-4a)}(x+4a)} = \frac{x-4a}{x(x+4a)}.\)

г) \( \frac{a - 30y}{a^2 - 100y^2} - \frac{10y}{10ay - a^2}=\)

\(= \frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} + \frac{10y}{a(a-10y)} ^{\color{blue}{\backslash{a+10y}}} =\)

\(=\frac{a(a-30y) + 10y(a+10y)}{a(a-10y)(a+10y)} =\)

\(=\frac{a^2-30ay + 10ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)} =\)

\(=\frac{a^2 -20ay +100y^2}{a(a-10y)(a+10y)} =\)

\(=\frac{(a-10y)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(a-10y)}(a+10y)} =\)

\(=\frac{a-10y}{a(a+10y)}.\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

4) Затем в числителе применяем формулы квадрата суммы и квадрата разности:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab+b^2\);

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab+b^2\).

5) Свойство степени:

\(a^nb^b = (ab)^n\).

6) Сокращаем полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.