Упражнение 99 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{2a+b}{2a^2-ab} - \frac{16a}{4a^2-b^2}-\frac{2a-b}{2a^2+ab}=\)

\( =\frac{2a+b}{a(2a - b)} ^{\color{blue}{\backslash{2a+b}}} - \frac{16a}{(2a - b)(2a + b)} ^{\color{blue}{\backslash{a}}} -\frac{2a-b}{a(2a + b)} ^{\color{blue}{\backslash{2a-b}}} =\)

\(= \frac{(2a+b)^2 -16a^2 - (2a-b)^2 }{a(2a-b)(2a+b)} =\)

\(= \frac{4a^2+4ab+b^2-16a^2-(4a^2-4ab+b^2)}{a(2a-b)(2a+b)} =\)

\(= \frac{\cancel{4a^2}+4ab+\cancel{b^2}-16a^2-\cancel{4a^2}+4ab-\cancel{b^2}}{a(2a-b)(2a+b)} =\)

\(= \frac{-16a^2+8ab}{a(2a-b)(2a+b)} = \)

\(= \frac{-8\cancel{a}\cancel{(2a-b)}}{\cancel{a}\cancel{(2a-b)}(2a+b)} =-\,\frac{8}{2a+b}. \)

б) \(\displaystyle \frac{1}{(a-3)^2} -\frac{2}{a^2-9} +\frac{1}{(a+3)^2}=\)

\(=\displaystyle \frac{1}{(a-3)^2} ^{\color{blue}{\backslash{(a+3)^2}}} - \frac{2}{(a-3)(a+3)} ^{\color{blue}{\backslash(a-3)(a+3)}} +\frac{1}{(a+3)^2} ^{\color{blue}{\backslash(a-3)^2}} =\)

 \(= \frac{(a+3)^2-2(a-3)(a+3)+(a-3)^2}{(a-3)^2(a+3)^2}=\)

 \(= \frac{a^2+6a+9-2(a^2-9)+(a^2-6a+9)}{(a-3)^2(a+3)^2}=\)

 \(= \frac{\cancel{a^2}+\cancel{6a}+9-\cancel{2a^2}+18+\cancel{a^2}-\cancel{6a}+9}{(a-3)^2(a+3)^2}=\)

 \(= \frac{36}{(a-3)^2(a+3)^2}= \frac{36}{(a^2-9)^2}\)

в) \( \frac{x-2}{x^2+2x+4}-\frac{6x}{x^3-8}+\frac{1}{x-2}=\)

\(=\frac{x-2}{x^2+2x+4} ^{\color{blue}{\backslash{x-2}}} -\frac{6x}{(x-2)(x^2+2x+4)}+\frac{1}{x-2} ^{\color{blue}{\backslash{x^2+2x+4}}} =\)

\(=\frac{(x-2)^2-6x+(x^2+2x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\)

\(=\frac{x^2-4x+4-6x+x^2+2x+4}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\)

\(=\frac{2x^2-8x+8}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\)

\(=\frac{2(x^2-4x+4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\)

\(=\frac{2(x-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-2)}(x^2+2x+4)}=\)

\(=\frac{2(x-2)}{x^2+2x+4}\)

г) \( \frac{2a^2+7a+3}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1}-\frac{3}{a-1}=\)

\( =\frac{2a^2+7a+3}{(a-1)(a^2+a+1)}-\frac{1-2a}{a^2+a+1} ^{\color{blue}{\backslash{}a-1}} -\frac{3}{a-1} ^{\color{blue}{\backslash{a^2+a+1}}} =\)

\( =\frac{(2a^2+7a+3) - (1-2a)(a-1)-3(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\)

\( =\frac{2a^2+7a+3 - (a-1-2a^2+2a)-3a^2-3a-3}{(a-1)(a^2+a+1)}=\)

\( =\frac{2a^2+7a+3 - a+1+2a^2-2a-3a^2-3a-3}{(a-1)(a^2+a+1)}=\)

\( =\frac{\cancel{a^2+a+1}}{(a-1)\cancel{(a^2+a+1)}}=\frac{1}{a-1}.\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\);

- разность кубов двух выражений:

\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^3)\);

- свойства степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\);

\((a^m)^n = a^{mn}\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующие правила:

- квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

- противоположны выражения:

\(a-b = -(b-a)\);

- умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).

4) После выполнения преобразований с числителями сокращаем полученные дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

а) \(\ \frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3}= a + 3 + \frac{9a + 3}{a^2 - 3a}\)

Левая часть:

\(\displaystyle \frac{3}{a^2 - 3a} + \frac{a^2}{a - 3}=\)

\(= \frac{3}{a(a-3)} + \frac{a^2}{a-3}^{\color{blue}{\backslash{a}}} =\)

\(=\ \frac{3 + a^3}{a(a-3)}. \)

Правая часть:

\( a + 3 + \frac{9a+3}{a(a-3)} =\)

\(=\frac{a + 3}{1} ^{\color{blue}{\backslash{a(a-3)}}} + \frac{9a+3}{a(a-3)} =\)

\(=\frac{a(a+3)(a-3)+(9a+3)}{a(a-3)} =\)

\(=\frac{a(a^2-9) + 9a + 3}{a(a-3)}= \)

\(=\frac{a^3-\cancel{9a} +\cancel{9a} + 3}{a(a-3)}= \)

\( = \frac{a^3 + 3}{a(a-3)}=\frac{3+a^3}{a(a-3)}.\)

Что и требовалось доказать.

б) \( \frac{a^3}{a^2 - 4} - \frac{a}{a - 2} - \frac{2}{a + 2} = a - 1.\)

Левая часть:

\( \frac{a^3}{a^2 - 4} - \frac{a}{a - 2} - \frac{2}{a + 2} =\)

\(= \frac{a^3}{(a-2)(a+2)} - \frac{a}{a-2} ^{\color{blue}{\backslash{a+2}}} - \frac{2}{a+2} ^{\color{blue}{\backslash{a-2}}} =\)

\(=\frac{a^3 -a(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}=\)

\(=\frac{a^3 - a^2 - 2a - 2a + 4}{(a-2)(a+2)}=\)

\(=\frac{a^3 - a^2 - 4a + 4}{(a-2)(a+2)}=\)

\(=\frac{a^2(a - 1) - 4(a - 1)}{(a-2)(a+2)}=\)

\(=\frac{(a - 1)\cancel{(a^2 - 4)}}{\cancel{(a^2-4)}}=a-1\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

1) Для доказательства того, что рассматриваемые выражения тождественно равны, нужно преобразовать каждое из выражений, в результате чего должен получится одинаковый результат.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\).

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

4) В пункте б) в числителе также применили способ группировки для разложения на множители и сократили полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.