Упражнение 100 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} - \frac{2a}{16b^2 - a^2}=\)

\(=\frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} + \frac{2a}{a^2-16b^2}=\)

\(=\frac{1}{a - 4b} ^{\color{blue}{\backslash{a+4b}}} - \frac{1}{a + 4b} ^{\color{blue}{\backslash{a-4b}}} + \frac{2a}{(a-4b)(a+4b)}=\)

\(=\frac{a+4b-(a-4b)+2a}{(a - 4b)(a+4b)}=\)

\(=\frac{\cancel{a}+4b-\cancel{a}+4b+2a}{(a - 4b)(a+4b)}=\)

\(=\frac{2a+8b}{(a - 4b)(a+4b)}=\)

\(=\frac{2\cancel{(a+4b)}}{(a - 4b)\cancel{(a+4b)}}=\frac{2}{a-4b}.\)

б) \( \frac{1}{2b - 2a} - \frac{1}{2b + 2a} + \frac{a^2}{a^2b - b^3}=\)

\( =\frac{1}{2b - 2a} - \frac{1}{2b + 2a} - \frac{a^2}{b^3-a^2b}=\)

\( =\frac{1}{2(b - a)} - \frac{1}{2(b + a)} - \frac{a^2}{b(b^2-a^2)}=\)

\( =\frac{1}{2(b - a)} ^{\color{blue}{\backslash{b(b+a)}}} - \frac{1}{2(b + a)} ^{\color{blue}{\backslash{b(b-a)}}} - \frac{a^2}{b(b-a)(b+a)} ^{\color{blue}{\backslash2}} =\)

\(=\frac{b(b+a)-b(b-a)-2a^2}{2b(b-a)(b+a)} =\)

\(=\frac{\cancel{b^2}+ab-\cancel{b^2}+ab-2a^2}{2b(b-a)(b+a)} =\)

\(=\frac{2ab-2a^2}{2b(b-a)(b+a)} =\)

\(=\frac{\cancel{2}a\cancel{(b-a)}}{\cancel{2}b\cancel{(b-a)}(b+a)}=\frac{a}{b(b+a)}\)

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

- вынесение общего множителя за скобки:

\(kx-ky=k(x-y)\);

\(kx-ky=-k(y-x)\);

- противоположные выражения:

\(a-b=-(b-a)\);

- свойство степени:

\(a^nb^n = (ab)^n\).

3) Если числитель или знаменатель дроби заменить на противоположное выражение и при этом поменять знак перед дробью, то получится дробь, равная данной, то есть

\( \frac{A}{B} = -\frac{-A}{B} = -\frac{A}{-B}.\)

4) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены.

5) После выполнения преобразований с числителями сокращаем полученные дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

а) \(\frac{x^3+3x}{x+2} - \frac{3x^2-14x+16}{x^2-4} + 2x=\)

\(=\frac{x^3+3x}{x+2} ^{\color{blue}{\backslash{x-2}}} -\frac{3x^2-14x+16}{(x-2)(x+2)}+\frac{2x}{1} ^{\color{blue}{\backslash{x^2-4}}} =\)

\(=\frac{(x^3+3x)(x-2)-(3x^2-14x+16)+2x(x^2-4)}{(x-2)(x+2)} \)

\(=\frac{x^4-\cancel{2x^3}+\cancel{3x^2}-\cancel{6x}-\cancel{3x^2}+\cancel{14x}-16+\cancel{2x^3}-\cancel{8x}}{(x-2)(x+2)}= \)

\(=\frac{x^4-16}{(x-2)(x+2)} =\)

\(=\frac{\cancel{(x^2-4)}(x^2+4)}{\cancel{(x^2-4)}} =\)

\(=x^2+4>0\) при любых допустимых значениях \(x\). Что и требовалось доказать.

б) \(y + \frac{2y^2+3y+1}{y^2-1} - \frac{y^3+2y}{y-1}=\)

\(=\frac{y}{1} ^{\color{blue}{\backslash{y^2-1}}} +\frac{2y^2+3y+1}{(y-1)(y+1)}-\frac{y^3+2y}{y-1} ^{\color{blue}{\backslash{y+1}}} =\)

\(=\frac{y(y^2-1)+(2y^2+3y+1)-(y^3 + 2y)(y + 1)}{(y-1)(y+1)}=\)

\(=\frac{y^3-y+2y^2+3y+1-(y^4+y^3 + 2y^2+2y)}{(y-1)(y+1)}=\)

\(=\frac{\cancel{y^3}-\cancel{y}+\cancel{2y^2}+\cancel{3y}+1-y^4-\cancel{y^3} - \cancel{2y^2}-\cancel{2y}}{(y-1)(y+1)}=\)

\(=\frac{-y^4+1}{(y-1)(y+1)} =-\frac{y^4-1}{(y-1)(y+1)} =\)

\(=-\frac{(y^2-1)(y^2+1)}{(y^2-1)} =-(y^2+1)<0\) при любых допустимых значениях \(y\).

Допустимые значения переменных:

а) \((x-2)(x+2) \neq0\)

\(x-2 \neq0\)   и   \(x+2\neq0\)

\(x \neq 2\)                \(x \neq-2\)

Допустимые значения переменной \(x\):

все числа, кроме \(2\) и \(-2\).

б) \((y-1)(y+1) \neq0\)

\(y-1 \neq0\)   и   \(y+1\neq0\)

\(y \neq 1\)                \(y \neq-1\)

Допустимые значения переменной \(y\):

все числа, кроме \(1\) и \(-1\).

Пояснения:

1)  Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

2) При разложении на множители знаменателей используем формулу разности квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\);

3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены. При раскрытии скобок помним следующие правила:

- противоположны выражения:

\(a-b = -(b-a)\);

- умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

- умножение многочлена на многочлен:

\((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\).

4) После выполнения преобразований с числителями сокращаем полученные дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

a) Учитываем то, что квадрат любого числа является неотрицательным числом, поэтому \(x^2+4>0\) и значение исходного выражения является положительным числом.

б) Из того, что \((y^2+1)>0\), противоположное выражение

\(-(y^2+1)<0\) и значение исходного выражения является отрицательным числом.

5) Допустимыми значениями переменных, входящих в рациональное выражение, называют все значения переменных, при которых это выражение имеет смысл. Дробь имеет смысл только тогда, когда знаменатель отличен от нуля, поэтому из допустимых значений переменных в рассматриваемых случаях исключаем те значения, при которых знаменатель дроби обращается в ноль.