Упражнение 208 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(5a^2 + 6 =5a^2 +5+1= 5\,(a^2 + 1) + 1,\)

следовательно

\[\frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1} = 5 + \frac{1}{a^2 + 1}.\]

Число 1 имеет единственный делитель 1. А поскольку при любом целом \(a\neq0\) имеет место \(a^2+1>1\), дробная часть \(\frac{1}{a^2+1}\) не является целым числом, а следовательно, исходное выражение не может принимать целые значения при любом целом \(a\neq0.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

Дробь \(\frac{R}{S}\) с целыми \(R,S\neq0\) целая тогда и только тогда, когда остаток равен нулю (то есть \(S\) делит \(R\)).

а) \(\frac{51 + 17^2}{10}=\frac{17\cdot3 + 17^2}{10}=\)

\(=\frac{17(3 + 17)}{10}=\frac{17\cdot20}{10}=\)

\(=17\cdot2=34.\)

б) \( \frac{37^2 + 111}{40} =\frac{37^2 + 3\cdot37}{40}=\)

\(=\frac{37(37+3)}{40}=\frac{37\cdot40}{40} = 37. \)

Пояснения:

Использованные приёмы:

– Вынос общего множителя из суммы одночленов (здесь \(17\) и \(37\)).

– Сокращение дроби на общий множитель в числителе и знаменателе.

Пояснения к шагам:

В обоих случаях мы представили сумму в числителе как произведение: \(a^2 + 3a = a(a+3)\). Это позволило сократить дробь с указателем на знаменатель (10 или 40) и сразу получить целое число без лишних вычислений.