Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№209 учебника 2023-2025 (стр. 55):
Найдите все пары натуральных чисел \(a\) и \(b\), если известно, что сумма обратных им чисел равна \(\frac{1}{7}\).
№209 учебника 2013-2022 (стр. 53):
Расстояние между городами \(A\) и \(B\) равно 600 км. Первый поезд вышел из \(A\) в \(B\) и шёл со скоростью 60 км/ч. Второй поезд вышел из \(B\) в \(A\) на 3 ч позже, чем первый из \(A\), и шёл со скоростью \(v\) км/ч. Поезда встретились через \(t\) ч после выхода первого поезда. Выразите \(v\) через \(t\). Найдите скорость \(v\) при \(t=7\); при \(t=6\).
№209 учебника 2023-2025 (стр. 55):
Вспомните:
№209 учебника 2013-2022 (стр. 53):
Вспомните:
№209 учебника 2023-2025 (стр. 55):
\(\frac1a + \frac1b=\frac17\)
\(\frac{a + b}{ab} = \frac{1}{7}\) \(|\times7ab\)
\(7(a + b) = ab\)
\(ab - 7a - 7b = 0\)
\((b - 7)a = 7b\)
\(a=\frac{7b}{b-7}\)
\(a=\frac{7b-49+49}{b-7}\)
\(a=\frac{7(b-7)+49}{b-7}\)
\(a=7+\frac{49}{b-7}\)
Чтобы выражение было натуральным числом, дробь \(\frac{49}{b-7}\) должна принимать натуральное значение. Значит, \(b-7\) — делитель числа \(49\).
Делители 49: \(1,7,49\).
\(b-7=1:\)
\(b=8;\) \(a=7+\frac{49}{8-7}=56\)
\(b-7=7:\)
\(b=14;\) \(a=7+\frac{49}{14-7}=14\)
\(b-7=49:\)
\(b=56;\) \(a=7+\frac{49}{56-7}=8\)
Ответ: \((56; 8); (14; 14); (8; 56).\)
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Из уравнения \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7}\) выражаем одну переменную через другую, получаем дробь в правой части равенства.
2. Выделяем целую часть из полученной дроби.
3. Находим значение знаменателя, при котором дробная часть выражения принимает натуральные значения.
4. Находим значение переменных при данных значениях знаменателя.
№209 учебника 2013-2022 (стр. 53):
Пусть \(t\) ч - время движения первого поезда.
Тогда \(60t\) км - прошел первый поезд.
\(t - 3\) ч - время движения второго поезда.
\(v(t - 3)\) км - прошел второй поезд.
Сумма пройденных расстояний равна 600 км:
\(60t + v(t - 3) = 600\)
\(v(t - 3) = 600 - 60t\)
\(v = \frac{600 - 60t}{t - 3}.\)
При \(t = 7\):
\(v = \frac{600 - 60 \cdot 7}{7 - 3} = \frac{600 - 420}{4} =\)
\(=\frac{180}{4} = 45\) (км/ч).
При \(t = 6\):
\(v = \frac{600 - 60 \cdot 6}{6 - 3} = \frac{600 - 360}{3} =\)
\(=\frac{240}{3} = 80\) (км/ч).
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Формула пути: \(s = vt\), где \(v\) — скорость, \(t\) — время.
2. Для встречных движений сумма пройденных расстояний равна расстоянию между точками старта.
Пояснения к шагам:
Сначала определили время движения каждого поезда до встречи: первый — \(t\) часов, второй — \(t-3\) часов.
Записали пройденные ими пути через произведение скорости на время, затем приравняли их сумму к общему расстоянию 600 км.
Выразили \(v\) через \(t\), после чего подставили конкретные значения \(t=7\) и \(t=6\) для нахождения численных результатов.
Вернуться к содержанию учебника