Упражнение 210 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(\frac{x - y}{y} = 2 \;\Rightarrow\; x - y = 2y \;\Rightarrow\; x = 3y.\)

\( \frac{3(3y)^2 - (3y)y + 6y^2}{y^2} =\)

\(=\frac{27y^2 - 3y^2 + 6y^2}{y^2} = \frac{30y^2}{y^2} = 30 \)

Ответ: 30.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1. Свойство дроби: \(\displaystyle\frac{x - y}{y} = 2\) эквивалентно \(x - y = 2y\).

2. Метод подстановки: после нахождения \(x\) через \(y\) заменили \(x\) в исходном выражении.

3. Сокращение степени: деление \(30y^2\) на \(y^2\) даёт число 30.

Развернутые пояснения:

Сначала преобразовали дробь \(\frac{x - y}{y}\) к линейному уравнению, что позволило выразить переменную \(x\) через \(y\).

Затем в числителе исходного выражения заменили \(x\) на \(3y\) и раскрыли скобки, получив многочлен \(27y^2 - 3y^2 + 6y^2 = 30y^2\).

Наконец, разделили получившийся числитель на знаменатель \(y^2\), что даёт окончательный ответ, не зависящий от \(y\) (при \(y\neq0\)).

а) \(\frac{3x - 8}{25};\)

знаменатель \(25\neq0\) при любых \(x\).

Ответ:  \(x\) - любое число.

б) \(\frac{37}{2y + 7};\)

\(2y+7\neq0\)

\(2y\neq-7\)

\(y\neq -\frac{7}{2}.\)

Ответ:  \(y\) - любое число, кроме \(-\frac{7}{2}.\) 

в) \(\frac{9}{x^2 - 7x};\)

\(x^2-7x\neq0\)

\(x(x-7)\neq0\)

\(x\neq0\) или \(x\neq7\)

Ответ: \(x\) - любое число, кроме 0 и 7.

г) \(\frac{2y + 5}{y^2 + 8};\)

\(y^2+8>0\) при любом значении \(y\).

Ответ:  \(y\) - любое число.

д) \(\frac{12}{\lvert x\rvert - 3};\)

\(\lvert x\rvert -3\neq0\)

\(\lvert x\rvert\neq3\)\

\(x\neq3\) или \(x\neq-3.\)

Ответ: \(x\) - любое число, кроме \(3\) и \(-3\).

е) \(\frac{45}{\lvert y\rvert + 2};\)

\(\lvert y\rvert +2>0\) при любом значении \(y\).

Ответ: \(y\) - любое число.

Пояснения:

1. В любой дроби запрещены значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль.

2. Для линейного знаменателя \(ax+b\):

\(ax+b\neq0\) откуда \(x\neq-\frac{b}{a}\).

3. Для квадратного многочлена \(x^2-7x\) находим корни \(x=0\) и \(x=7\) и исключаем их.

4. Выражения вида \(y^2+8\) положительны при всех \(y\), поэтому дополнительных ограничений нет.

5. При абсолютных значениях \( \lvert x\rvert -3\neq0\) равносильно \(\lvert x\rvert\neq3\), значит \(x\neq\pm3\); а \(\lvert y\rvert+2\) всегда положительно.