Упражнение 479 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[y = \sqrt{\lvert x\rvert}.\]

Если \(x\ge0\), то \(y=\sqrt{x}\);

Если  \(x<0\), то \(y=\sqrt{-x}.\)

Пояснения:

Использованные приёмы и правила:

1. Определение модуля:

\(\lvert x\rvert = \begin{cases}x,&x\ge0,\\-x,&x<0.\end{cases}\)

2. Корень из неотрицательного выражения: \(\sqrt{a}\) определён при \(a\ge0\).

3. Получаем кусочно-заданную функцию:

\( y = \begin{cases} \sqrt{-x}, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\ge0. \end{cases} \)

\(a<0\) и \(b<0\), тогда

\(-a>0\) и \(-b>0\).

а) \(\sqrt{ab} =\sqrt{(-a)(-b)} =\sqrt{-a}\,\sqrt{-b}.\)

б) \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{\frac{-a}{-b}} =\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}.\)

Пояснения:

1) Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

При \(a<0,b<0\) имеем \(ab>0\) и \(\frac{a}{b}>0\),

тогда \(-a>0,-b>0\) имеем

\((-a)\cdot(-b)>0\) и \(\frac{-a}{-b}>0\).

2) Свойство корня из произведения:

\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) для \(a,b\ge0\).

3) Свойство корня из частного:

\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) для \(a\ge0\) и \(b>0\).