Упражнение 561 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть первый катет треугольника равен \(x\) см, тогда второй катет равен \(23 - x\) см. Площадь прямоугольника \(60\) см².

Составим уравнение:

\( \frac12x(23-x)=60\)    \(/\times2\)

\( x(23-x)=120\) 

\(23x -x^2 - 120 = 0\)    \(/\times(-1)\)

\(x^2-23x+120=0\)

\(a=1\), \(b=-23\), \(c=120\).

\(D = b^2 - 4ac = 23^2-4\cdot1\cdot120=\)

\(=529-480=49\);    \(\sqrt49 = 7\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{23+7}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{30}{2}=15\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{23-7}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{16}{2} = 8\).

1) \(15\) см - первый катет треугольника.

\(23 - 15 = 8\) (см) - второй катете треугольника.

2) \(8\) см - первый катет треугольника.

\(23 - 8 = 15\) (см) - второй катет треугольника.

Ответ: \(8\) и \(15\) см.

Пояснения:

Использованные формулы:

Площадь прямоугольного треугольника:

\(S = \frac12ab\), где

\(a\) и \(b\) - катеты прямоугольного треугольника.

Ввели обозначения и составили уравнение согласно условию:

\( \frac12x(23-x)=60\) 

Домножив обе части уравнения на 2 и раскрыв скобки, получили полное квадратное уравнение:

\(x^2-23x+120=0\)

Нашли корни полученного квадратного уравнения через дискриминант, которые соответствуют первой стороне треугольника.

Нашли вторую сторону треугольника.

Пусть меньшая сторона \(x\) м, тогда большая сторона \(x+10\) м. Площадь участка \(1200\) м².

Составим уравнение:

\(x(x+10)=1200 \)

\(x^2+10x-1200=0\)

\(a=1\), \(b=10\), \(c=-1200\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=10^2-4\cdot1\cdot(-1200)=\)

\(=100+4800=4900\)    \(\sqrt{D}=70\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-10+70}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{60}{2} = 30\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-10-70}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-80}{2} = -40\) - не удовлетворяет условию \(x>0\).

1) \(30\) (м) - первая сторона участка.

2) \(30 + 10=40\) (м) - вторая сторона участка.

3) \(P=2(30+40) = 2\cdot70=140\) (м) - длина изгороди.

Ответ: 140 м.

Пояснения:

Использованы формулы:

площадь прямоугольника: \(S=ab\),

периметр прямоугольника:

\(P=2(a+b)\),

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

Ввели обозначения и составили уравнение согласно условию:

\(x(x+10)=1200 \)

Раскрыв скобки получили полное квадратное уравнение:

\(x^2+10x-1200=0\)

Нашли корни полученного квадратного уравнения через дискриминант. Отрицательный корень отброшен как не имеющий геометрического смысла (длина не может быть отрицательной). После нахождения сторон вычислили длину изгороди (периметр прямоугольного участка).