Упражнение 557 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть меньшее число \(x\), тогда большее \(x+6\). Их произведение равно 187.

Составим уравнение:

\(x(x+6)=187\)

\(x^2+6x-187=0\)

\(a=1\), \(b=6\), \(c=-187\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=6^2-4\cdot1\cdot(-187)=\)

\(=36+748=784\);    \(\sqrt D=28\)

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-6+28}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{22}{2} = 11\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-6-28}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-34}{2} = -17\) - не подходит, так как не является натуральным.

1) \(11\) - первое число.

2) \(11 + 6 = 17\) - второе число.

Ответ: \(11\) и \(17\).

Пояснения:

1) По условию составили уравнение.

2) Раскрыв скобки, получили полное квадратное уравнение.

3) Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. Отрицательный корень не подходит, так как в условии задачи говорится про натуральные числа.

4) Согласно условию нашли второе число.

а) \((\sqrt{21}+\sqrt{14}-2\sqrt{35})\cdot\frac{\sqrt{7}}{7}+\sqrt{20}=\)

\(=(\sqrt{7}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{7}\sqrt{2}-2\sqrt{7}\sqrt{5})\cdot\frac{\sqrt{7}}{7}+\sqrt{4\cdot5}=\)

\(=\frac{\sqrt{7}}{7}\cdot\sqrt{7}\cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2}-2\sqrt{5})+2\sqrt{5}=\)

\(=\frac{7}{7}(\sqrt{3}+\sqrt{2}-2\sqrt{5})+2\sqrt{5}=\)

\(=\sqrt{3}+\sqrt{2}-\cancel{2\sqrt{5}}+\cancel{2\sqrt{5}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\).

б) \((\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{15})(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\sqrt{75}=\)

\(=5 - \cancel{\sqrt{15}} +\cancel{\sqrt{15}}-3-\cancel{\sqrt{75}} +\sqrt{45}+\cancel{\sqrt{75}}=\)

\(=2 + \sqrt{45} = 2 +\sqrt{9\cdot5} = 2 + 3\sqrt{5}\).

Пояснения:

Использованные правила:

- Свойства корня:

\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\);

\(\sqrt a\cdot \sqrt a = a\).

- Извлечение множителя из-под корня:

\(\sqrt{k^2m}=k\sqrt{m}\).

- Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax + bx = (a+b)x\).

- Распределительное свойство умножения:

\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\).

Пункт а):

Сначала, используя свойства коня, разложили на множители слагаемые в скобках, затем вынесли общий множитель за скобки и привели подобные.

Пункт б):

Сначала, используя распределительное свойство умножения раскрыли скобки, затем привели подобные и, используя свойства корня, преобразовали выражение.