Упражнение 562 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть первое число \(x\), тогда второе числ \(x+1\). Произведение двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на \(109\).

Составим уравнение:

\( x(x+1)=x+(x+1)+109\)

\(x^2 + x = 2x + 110\)

\(x^2 + x - 2x - 110=0\)

\(x^2 - x - 110 = 0\)

\(a=1\), \(b=-1\), \(c=-110\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-110)=\)

\(=1+440=441\);   \(\sqrt{D} = 21\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1)+21}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{22}{2}=11\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1)-21}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-20}{2}=-10\) - не подходит, так как не является натуральным.

1) 11 - первое натуральное число.

2) 11 + 1 = 12 - второе натуральное число.

Ответ: 11 и 12.

Пояснения:

Два последовательных натуральных числа обозначаем \(x\) и \(x+1\). Учитывая то, что произведение этих двух последовательных натуральных чисел больше их суммы на 109, оставили уравнение:

\( x(x+1)=x+(x+1)+109\).

Раскрыли скобки и перенесли все слагаемые в левую часть уравнения, изменив их знаки на противоположные, привели подобные, получили полное квадратное уравнение:

\(x^2 - x - 110 = 0\).

Нашли корни полученного квадратного уравнения через дискриминант. Отрицательный корень отброшен, так как в условии говорится про натуральные числа. А положительный корень соответствует первому числу.

Прибавлением единицы нашли второе число.

Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\) см. Периметр прямоугольника 62 м. Тогда вторая сторона равна

\(62 : 2 - x = 31 - x\) (м).

Составим уравнение:

\(x(31-x)=210 \)

\(x^2-31x+210=0\)

\(a=1\), \(b=10\), \(c=-1200\)

\(D = b^2 - 4ac = 31^2-4\cdot210=\)

\(=961-840=121\)    \(\sqrt D=11\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{31+11}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{42}{2} = 21\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{31-11}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{20}{2} =10\).

1) \(21\) (м) - первая сторона.

\(31 - 21 = 10\) (м) - вторая сторона.

2) 10 м - первая сторона.

\(31 - 10 = 21\) (м) - вторая сторона.

Ответ: \(10\) м и \(21\) м.

Пояснения:

Использованы формулы:

площадь прямоугольника: \(S=ab\),

периметр прямоугольника:

\(P=2(a+b)\),

где \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника.

Чтобы найти сторону прямоугольника, нужно периметр разделить на 2 и вычесть вторую сторону.

Ввели обозначения и составили уравнение согласно условию:

\(x(31-x)=210 \)

Раскрыв скобки получили полное квадратное уравнение:

\(x^2-31x+210=0\)

Нашли корни полученного квадратного уравнения через дискриминант, которые соответствуют первой стороне прямоугольника.

Нашли вторую сторону прямоугольника.