Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№581 учебника 2023-2025 (стр. 135):
Найдите подбором корни уравнения:
а) \(x^2-9x+20=0;\)
б) \(y^2+11y-12=0;\)
в) \(y^2+y-56=0;\)
г) \(z^2-19z+88=0.\)
№581 учебника 2013-2022 (стр. 137):
Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
а) \(x^{2}-2x-9=0\);
б) \(3x^{2}-4x-4=0\);
в) \(2x^{2}+7x-6=0\);
г) \(2x^{2}+9x+8=0\).
№581 учебника 2023-2025 (стр. 135):
Вспомните:
№581 учебника 2013-2022 (стр. 137):
Вспомните:
№581 учебника 2023-2025 (стр. 135):
а) \(x^2-9x+20=0\)
\(a = 1\), \(b=-9\), \(c = 20\)
\(D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4\cdot1\cdot20 =\)
\(=81 - 80 = 1 > 0\).
\(x_1 + x_2=9\)
\(x_1\cdot x_2=20\)
\(x_1=4,\) \(x_2=5.\)
б) \(y^2+11y-12=0\)
\(a = 1\), \(b=11\), \(c=-12\)
\(D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4\cdot1\cdot(-12)=\)
\(=121 + 48 = 169 > 0\).
\(y_1+y_2=-11\)
\(y_1\cdot y_2=-12\)
\(y_1=-12,\) \(y_2 =1.\)
в) \(y^2+y-56=0\)
\(a = 1\), \(b = 1\), \(c=-56\)
\(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot 1\cdot (-56)=\)
\(=1 + 224 = 225 > 0\).
\(y_1+y_2=-1\)
\(y_1\cdot y_2=-56\)
\(y_1=-8,\) \(y_2=7.\)
г) \(z^2-19z+88=0\)
\(a = 1\), \(b = -19\), \(c=88\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-19)^2 - 4\cdot1\cdot88 =\)
\(=361 - 352 = 9 > 0\).
\(z_1+z_2=19\)
\(z_1\cdot z_2=88\)
\(z_1=11,\) \( z_2=8.\)
Пояснения:
Приведённое квадратное уравнение \(x^2+bx+c=0\) в том случае, когда дискриминант больше нуля
\((D=b^2-4ac>0)\) имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), для которых справедливы равенства:
\(x_1 + x_2=-b\),
\(x_1\cdot x_2=c\).
Исходя из этих равенств подбором находим корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\).
№581 учебника 2013-2022 (стр. 137):
а) \(x^{2}-2x-9=0\)
\(a=1,b=-2,c=-9\).
\(D=b^{2}-4ac=\)
\(=(-2)^2 -4\cdot1\cdot(-9)=\)
\(=4+36=40\).
\(\sqrt D = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}\).
\( x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}=\frac{-(-2)\pm2\sqrt{10}}{2\cdot1}=\)
\(=\frac{2(1\pm\sqrt{10})}{2}=1\pm\sqrt{10}. \)
\(x_1 = 1+\sqrt{10}\)
\(x_2 = 1-\sqrt{10}\)
Проверка:
1) \(x_1+x_2 = 2\)
\((1+\sqrt{10})+(1-\sqrt{10}) =\)
\(=1+\cancel{\sqrt{10}}+1-\cancel{\sqrt{10}} =2\) - верно.
2) \(x_1\cdot x_2 = -9\)
\((1+\sqrt{10})\cdot(1-\sqrt{10}) = 1^2 - (\sqrt{10})^2=\)
\(=1 - 10= -9\) - верно.
б) \(3x^{2}-4x-4=0\)
\(a=3,b=-4,c=-4\).
\(D=b^2-4ac=\)
\(=(-4)^2-4\cdot3\cdot(-4)=\)
\(=16+48=64\); \(\sqrt D = 8\).
\( x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(x_1=\frac{-(-4)+8}{2\cdot3}=\frac{12}{6}=2\)
\(x_2=\frac{-(-4)-8}{2\cdot3}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}. \)
Проверка:
1) \(x_1+x_2 = \frac43\)
\(2 + (-\frac23) = \frac63 - \frac23 = \frac43\) - верно.
2) \(x_1\cdot x_2 = -\frac43\)
\(2 \cdot (-\frac23) =-\frac43\) - верно.
в) \(2x^{2}+7x-6=0\)
\(a=2,b=7,c=-6\).
\(D=b^2 - 4ac=7^2 - 4\cdot2\cdot(-6)=\)
\(=49+48=97\); \(\sqrt D = \sqrt{97}\).
\( x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\(x_1=\frac{-7+\sqrt{97}}{2\cdot2}=\frac{-7+\sqrt{97}}{4}, \)
\(z_2=\frac{-7-\sqrt{97}}{2\cdot2}=\frac{-7-\sqrt{97}}{4}. \)
Проверка:
1) \(x_1+x_2 = -\frac72\)
\(\frac{-7+\sqrt{97}}{4} + \frac{-7-\sqrt{97}}{4}=\)
\(=\frac{-7+\cancel{\sqrt{97}}-7-\cancel{\sqrt{97}}}{4}=\)
\(=-\frac{14}{4}=-\frac72\) - верно.
2) \(x_1\cdot x_2 = -\frac62=-3\)
\(\frac{-7+\sqrt{97}}{4} \cdot \frac{-7-\sqrt{97}}{4}=\)
\(=\frac{-(7-\sqrt{97})}{4} \cdot \frac{-(7+\sqrt{97})}{4}=\)
\(=\frac{(7-\sqrt{97})(7+\sqrt{97})}{16} =\)
\(=\frac{7^2-(\sqrt{97})^2}{16} =\frac{49 - 97}{16} =\)
\(=-\frac{48}{16} = -3\) - верно.
г) \(2x^{2}+9x+8=0\)
\(a=2,b=9,c=8\).
\(D=b^2 - 4ac=9^2 - 4\cdot2\cdot8=\)
\(=81-64=17\); \(\sqrt D = \sqrt{17}\).
\( x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)
\( x_1=\frac{-9+\sqrt{17}}{2\cdot2}=\frac{-9+\sqrt{17}}{4},\)
\( x_1=\frac{-9-\sqrt{17}}{2\cdot2}=\frac{-9-\sqrt{17}}{4}.\)
Проверка:
1) \(x_1+x_2 = -\frac92\)
\(\frac{-9+\sqrt{17}}{4}+\frac{-9-\sqrt{17}}{4}=\)
\(=\frac{-9+\sqrt{17}-9-\sqrt{17}}{4}=\)
\(=\frac{-18}{2} = -\frac92\) - верно.
2) \(x_1\cdot x_2 = -\frac82=4\)
\(\frac{-9+\sqrt{17}}{4}\cdot\frac{-9-\sqrt{17}}{4}=\)
\(=\frac{-(9-\sqrt{17})}{4}\cdot\frac{-(9+\sqrt{17})}{4}=\)
\(=\frac{(9-\sqrt{17})(9+\sqrt{17})}{16}=\)
\(=\frac{9^2-(\sqrt{17})^2}{16}=\frac{81-17}{16}=\)
\(=\frac{64}{16} = 4\) - верно.
Пояснения:
Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:
\(D=b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);
\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:
\(x =-\frac{b}{2a}\).
– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.
Теорема, обратная теореме Виета:
если числа \(x_1, x_2\) удовлетворяют равенствам
\(\;x_1+x_2=-\frac{b}{a}\) и \(\;x_1x_2=\frac{c}{a}\),
то они — корни уравнения
\(ax^2+bx+c=0\).
Использованные приемы:
- Разность квадратов двух выражений:
\((a - b)(a+b) = a^2 - b^2\).
- Противоположные выражения:
\(a - b = - (b-a)\).
- Свойства корня:
\((\sqrt a)^2 = a\),
\(\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot\sqrt b\).
Вернуться к содержанию учебника