Упражнение 680 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((y-3)(x-3)=0.\)

б) \((x+2)(y+2)=0.\)

в) \((y-2)(y+2)=0\) или \(|y| = 2\).

г) \((x+2)(x-4)=0.\)

Пояснения:

Если график состоит из двух прямых \(L_1=0\) и \(L_2=0\), то ему соответствует уравнение \(L_1\cdot L_2=0,\) поскольку произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда нулём является хотя бы один множитель.

а) Горизонтальная прямая \(y=3\) и вертикальная прямая \(x=3\),  которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

\(y-3 = 0\) и \(x -3 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых:

\((y-3)(x-3)=0.\)

б) Вертикальная прямая \(x=-2\) и горизонтальная прямая \(y=-2\),  которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

\(x+2 = 0\) и \(y +2 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых:

\((x+2)(y+2)=0.\)

в) Две горизонтальные прямые \(y=2\) и \(y=-2\),  которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

\(y-2 = 0\) и \(y +2 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых:

\((y-2)(y+2)=0.\)

г) Две вертикальные прямые \(x=-2\) и \(x=4\), которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

\(x+2 = 0\) и \(x -4 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых:

\((x+2)(x-4)=0.\)

\[2x^2 - 5x + c = 0\]

\(a = 2\),  \(b = - 5\),  \(c - ?\)

Пусть корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\).

\[ x_1^2 - x_2^2 = 0{,}25. \]

По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = \frac{5}{2} = 2,5, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{2}. \]

\( x_1^2 - x_2^2 =0,25\)

\((x_1 - x_2)(x_1 + x_2) =0,25\)

\(2,5(x_1 - x_2) = 0,25\)   \(/ : 2,5\)

\(10(x_1 - x_2) = 0,1\)

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 0,1 \\ x_1 + x_2 = 2,5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 0,1 \\ x_1 + x_2 = 2,5 \end{cases} \)    \((+)\)

\( \begin{cases} 2x_1 = 2,6 \\ x_1 + x_2 = 2,5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = \frac{2,6}{2} \\ x_2 = 2,5 - x_1 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = 1,3 \\ x_2 = 2,5 - 1,3 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = 1,3 \\ x_2 = 1,2 \end{cases} \)

\(x_1 x_2 = \frac{c}{2}\)

\(1,3\cdot1,2 = \frac{c}{2}\)

\(1,56 = \frac{c}{2}\)    \(/\times 2\)

\(c = 3,12\)

Ответ: \(c = 3,12.\)

Пояснения:

Мы использовали:

- разложение разности квадратов:

\[ x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2). \]

- теорему Виета:

\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}. \]

Учитывая то, что \( x_1^2 - x_2^2 = 0{,}25\) составили систему уравнений:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 0,1 \\ x_1 + x_2 = 2,5 \end{cases}. \)

Решив систему способом сложения, нашли: \(x_1 = 1,3 \\ x_2 = 1,2\).

Учитывая то, что \(x_1 x_2 = \frac{c}{2}\), определили \(c = 3,12.\)