Упражнение 679 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (x-1)(y-1)=0. \)

б) \( (x+1)(y-x)=0. \)

в) \( (x+2)(x-1)=0. \)

г) \( (y-2)(y+1)=0. \)

Пояснения:

Если график — объединение двух прямых \(L_1=0\) и \(L_2=0\), то его задаёт уравнение произведения: \[ L_1\cdot L_2=0, \] поскольку произведение равно нулю тогда и только тогда, когда нулём является хотя бы один из множителей.

По рисункам считываем координаты пересечений с осями:

а) Прямые: вертикальная \(x=1\) и горизонтальная \(y=1\), которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

\(x-1 = 0\) и \(y -1 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых:

\((x-1)(y-1)=0. \)

б) Прямые: вертикальная \(x=-1\) и наклонная \(y=x\), так как эта прямая, у которой абсцисса и ордината для каждой точки совпадают, которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

 \(x+1 = 0\) и \(y - x = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых

\( (x+1)(y-x)=0. \)

в) Прямые: две вертикальные \(x=-2\) и \(x=1\), которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать 

\(x+2 = 0\) и \(x-1 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых

\((x+2)(x-1)=0. \)

г) Прямые: две горизонтальные \(y=2\) и \(y=-1\), которые, выполнив перенос в левую часть, можно записать

 \(y-2 = 0\) и \(y +1 = 0\).

Тогда общее уравнение пары прямых

\( (y-2)(y+1)=0. \)

\[x^2 + px + 90 = 0\]

\(a = 1\),  \(b = p\),  \(c = 90\)

Пусть корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\).

\[ (x_1 - x_2)^2 = 81. \]

\[ x_1 - x_2 = \pm\sqrt{81} \]

\(x_1 - x_2 = \pm9\)

По теореме Виета:

\[ x_1 + x_2 = -p, \quad x_1 \cdot x_2 = 90. \]

1) \(x_1 - x_2 = 9\)

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 9 \\ x_1 \cdot x_2 = 90 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = 9 + x_2 \\ (9+x_2) \cdot x_2 = 90 \end{cases} \)

\(9x_2+x_2^2 - 90 = 0\)

\(x_2^2 +9x_2 - 90 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 9\),  \(c = -90\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=9^2 -4\cdot 1\cdot (-90) =\)

\(=81 + 360 = 441\),   \(\sqrt D = 21\).

\(x_{2(1,2)} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{2(1)} = \frac{-9+21}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6\)

\(x_{2(2)} = \frac{-9-21}{2\cdot1}=\frac{-30}{2}=-15\)

Если \(x_2 = 6\), то

\(x_1 = 9 + 6 = 15\).

\(x_1 + x_2 = -p\)

\(15 + 6 = -p\)

\(21 = -p\)

\(p = -21\)

Если \(x_2 = -15\), то

\(x_1 = 9 -15 = -6\).

\(x_1 + x_2 = -p\)

\(-6 + (-15) = -p\)

\(-21 = -p\)

\(p = 21\)

2) \(x_1 - x_2 = -9\)

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 90 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x_1 = x_2 - 9 \\ (x_2 - 9) \cdot x_2 = 90 \end{cases} \)

\((x_2 - 9) \cdot x_2 = 90\)

\(x_2^2 -9x_2 - 90 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -9\),  \(c = -90\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-9)^2 - 4\cdot1\cdot(-90) =\)

\(=81 +360 = 441\),    \(\sqrt D = 21\).

\(x_{2(1,2)} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{2(1)} = \frac{-(-9)+21}{2\cdot1}=\frac{30}{2}=15\)

\(x_{2(2)} = \frac{-(-9)-21}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6\)

Если \(x_2 = 15\), то

\(x_1 = 15 -9 = 6\).

\(x_1 + x_2 = -p\)

\(6 + 15 = -p\)

\(21 = -p\)

\(p = -21\)

Если \(x_2 = -6\), то

\(x_1 = -6 - 9 = -15\).

\(x_1 + x_2 = -p\)

\(-15  + (-6) = -p\)

\(-21 = -p\)

\(p = 21\)

Ответ: \(p = 21\) или \(p = -21\).

Пояснения:

Мы использовали теорему Виета:

\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}. \)

Из условия \( (x_1 - x_2)^2 = 81\),  получаем

\(x_1 - x_2 = \pm9\).

Составили систему из двух уравнений для двух случаев:

\( \begin{cases} x_1 - x_2 = 9 \\ x_1 \cdot x_2 = 90 \end{cases} \) и \( \begin{cases} x_1 - x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 90 \end{cases} \).

Решив каждую систему способом подстановки, определили, что \(p = 21\) или \(p = -21\).