Упражнение 756 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\). Тогда вторая сторона:

\((28 - 2x) : 2 = 14-x \).

Сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна \(116\) см².

Составим уравнение:

\( x^2+(14-x)^2=116 \)

\( x^2+196-28x+x^2=116 \)

\( 2x^2-28x+196=116 \)

\( 2x^2-28x+80=0 \)    \(/ : 2\)

\( x^2-14x+40=0 \)

\(a = 1\),  \(b = -14\),  \(c = 40\)

\( D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-14)^2-4\cdot1\cdot 40=\)

\(=196-160=36 \),    \(\sqrt D = 6\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\( x=\frac{-(-14)+ 6}{2\cdot1} =\frac{20}{2}=10\).

\( x_2=\frac{-(-14)- 6}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4 \).

1) \(10\) (см) - первая сторона прямоугольника.

\(14-10=4\) (см) - вторая сторона прямоугольника.

2) \(4\) (см) - первая сторона прямоугольника.

\(14 - 4 = 10\) (см) - вторая сторона прямоугольника.

Ответ: стороны прямоугольника равны \(10\) см и \(4\) см.

Пояснения:

Вводим обозначения для сторон прямоугольника, учитывая то, что периметр прямоугольника равен \(28\) см. Составляем уравнение по условию: сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна \(116\) см²:

\( x^2+(14-x)^2=116 \).

Раскрываем скобки по формуле квадрата разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Затем приводим подобные и получаем полное квадратное уравнение, которое имеет два корня, что соответствует первой стороне прямоугольника. Далее находим соответствующее значение второй стороны.

а) \(a>0\)

\(2a,\; a\sqrt{3},\; -a,\; a(\sqrt{3} - \sqrt{2}),\; 3a.\)

В порядке возрастания:

\(-a,\; a(\sqrt{3} - \sqrt{2}),\; 2a,\; a\sqrt{3},\; 3a.\)

б) \(a>0\)

\(6a,\; -a\sqrt{5},\; a(\sqrt{7} - \sqrt{6}),\; -a,\)

\(-5a - 1.\)

В порядке убывания:

\(6a,\; a(\sqrt{7} - \sqrt{6}),\; -a, \; -a\sqrt{5},\)

\(-5a - 1.\)

Пояснения:

Если в произведениях один из множителей одно и то же положительное число, то произведения сравниваем по другим множителям: чем больше этот множитель, тем больше произведение.