Упражнение 811 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 181

Пусть скорость течения в реке: \(x\) км/ч, тогда скорость течения в притоке:

\(x+1\) км/ч.

\(\frac{35}{10-x} + \frac{18}{10-(x+1)}=8\)

\(\frac{35}{10-x} + \frac{18}{10-x-1}=8\)

\(\frac{35}{10-x} + \frac{18}{9-x}=8\) \(/\times (10-x)(9-x)\)

ОДЗ: \(10 - x \neq 0\)   и  \(9 - x \neq0\)

          \(x \neq 10\)             \(x \neq 9\)

\(35(9-x) + 18(10 - x) = 8(10-x)(9-x)\)

\( 315 - 35x + 180 - 18x = 8(90 - 10x - 9x + x^2)\)

\( 495 - 53x = 720 - 80x -72x+ 8x^2\)

\( 495 - 53x - 720 + 80x + 72x - 8x^2 = 0\)

\(-8x^2 + 99x -225 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(8x^2 - 99x + 225 = 0\)

\(a = 8\),  \(b = -99\),  \(c = 225\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-99)^2 - 4\cdot8 \cdot 225 =\)

\(=9801- 7200 = 2601\),   \(\sqrt D = 51\)

\( x_1 = \frac{-(-99) + 51}{2\cdot8} = \frac{150}{16} =\frac{75}{8} =\)

\(=9\frac{3}{8}\) - не удовлетворяет условию.

\( x_2 = \frac{-(-99) - 51}{2\cdot8} = \frac{48}{16} = 3\).

Ответ: скорость течения в реке равна 3 км/ч.

Пояснения:

Время в пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]

Мы обозначили скорость течения в реке \(x\) км/ч. Тогда в притоке она на 1 больше, то есть \(x+1\). По условию задачи составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{35}{10-x} + \frac{18}{10-(x+1)}=8\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(9\frac{3}{8}\) и \(3\). Но значение скорости течения в реке не может быть равно \(9\frac{3}{8}\) км/ч, так как в таком случае скорость лодки в притоке будет отрицательным числом, чего не может быть (скорость может принимать только положительные значения). Значит, скорость течения в реке равна \(3\) км/ч.

Составим уравнение:

\(\frac{160}{x} - \frac{180}{x+2} = 1\)  \(/\times x(x+2)\)

ОДЗ: \(x \neq 0\)   и   \(x + 2 \neq 0\)

                           \(x \neq -2\)

\(160(x+2) - 180x = x(x+2)\)

\(160x + 320 - 180x = x^2 + 2x\)

\(-20x + 320 = x^2 + 2x\)

\(x^2 + 2x + 20x - 320 = 0\)

\(x^2 + 22x - 320 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 22\),  \(c = - 320\)

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-320) = \)

\(=484 + 1280 = 1764\),    \( \sqrt{D} = 42\).

\( x_1 = \frac{-22 + 42}{2\cdot1} = \frac{20}{2} = 10\)

\( x_2 = \frac{-22 - 42}{2\cdot1} = \frac{-64}{2} = -32\) - не удовлетворяет условию.

1) \(10\) (ц/га) - урожайность во втором хозяйстве.

2) \(10+ 2 = 12\) ( ц/га) - урожайность в первом хозяйстве.

Ответ: урожайность гречихи в первом хозяйстве — 12 ц/га, а во втором — 10 ц/га.

Пояснения:

Обозначили за \(x\) ц/га урожайность во втором хозяйстве, тогда урожайность в первом хозяйстве \(x + 2\) ц/га. В первом хозяйстве собрали 180 ц гречихи, а во втором —  только 160 ц. Чтобы найти площадь, нужно весь собранный урожай с этой площади разделить на урожайность. Значит, площадь под гречихой в первом хозяйстве \( \frac{180}{x+2}\) га, а площадь под гречихой во втором хозяйстве \(\frac{160}{x}\) га. Известно, что во втором хозяйстве под гречиху было отведено на 1 га больше, чем в первом хозяйстве, следовательно, можем составить дробное рациональное уравнение:

\(\frac{160}{x} - \frac{180}{x+2} = 1\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнения:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

В ходе преобразований получили полное квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D\) больше нуля, поэтому уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

Мы получили два значения \(10\) и \(-32\). Но отрицательное значение не подходит, так как урожайность не может быть отрицательным числом. Следовательно, урожайность во втором хозяйстве равна \(10\) ц/га. Урожайность в первом хозяйстве на \(2\) ц/га больше, значит, урожайность в первом хозяйстве \(12\) ц/га.