Упражнение 885 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(6 < x < 7,\; 10 < y < 12 \)

\(6+10 < x+y < 7+12\)

\(16 < x+y < 19.\)

б) \(6 < x < 7,\; 10 < y < 12 \)

\(y - x = y + (-x)\)

\(-7 < -x < -6\)

\(10 + (-7) < y + (-x) < 12+(-6)\)

\(3 < y-x < 6.\)

в) \(6 < x < 7,\; 10 < y < 12 \)

\(6\cdot 10 < xy < 7\cdot 12\)

\(60 < xy < 84.\)

г) \(6 < x < 7,\; 10 < y < 12 \)

\(\frac{y}{x} = y\cdot \frac1x\)

\(\frac17 < \frac1x < \frac16 \)

\(10\cdot\dfrac{1}{7} < y\cdot\dfrac{1}{x} < 12\cdot\dfrac{1}{6}\)

\(\dfrac{10}{7} < \dfrac{y}{x} < \dfrac{12}{6}\)

\(1\dfrac{3}{7} < \dfrac{y}{x} < 2.\)

Пояснения:

Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых - положительные числа, то получится верное неравенство.

При выполнении вычитания неравенств, учитываем то, что вычитание можно заменить сложением с противоположным числом:

\(a - b = a + (-b)\).

При выполнении деления неравенств, учитываем то, что деление можно заменить умножением делимого на число обратное делителю: \(\frac{a}{b} = a\cdot \frac1b\).

Свойства числовых неравенств:

- если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный;

- если \(x\) и \(y\) - положительные числа и \(x < y\), то \(\dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{y}\).

а) \(\begin{cases}5(x-2)-x > 2,\\ 1-3(x-1)<-2\end{cases}\)

\(\begin{cases}5x-10-x > 2,\\ 1-3x+3<-2\end{cases}\)

\(\begin{cases}4x-10 > 2,\\ 4-3x<-2\end{cases}\)

\(\begin{cases}4x > 2 + 10,\\ -3x<-2 - 4\end{cases}\)

\(\begin{cases}4x >12,  / : 4 \\ -3x<-6 / : (-3) \end{cases}\)

\(\begin{cases}x >3, \\ x>2 \end{cases}\)

Ответ: \((3; +\infty).\)

б) \(\begin{cases}2y-(y-4)<6,\\ y>3(2y-1)+18\end{cases}\)

\(\begin{cases}2y-y+4<6,\\ y>6y-3+18\end{cases}\)

\(\begin{cases}y+4<6,\\ y>6y+ 15\end{cases}\)

\(\begin{cases}y<6-4,\\ y-6y>15\end{cases}\)

\(\begin{cases}y<2,\\ -5y>15   / : (-5) \end{cases}\)

\(\begin{cases}y<2,\\ y<-3 \end{cases}\)

Ответ: \((\infty; -3)\).

в) \(\begin{cases}7x+3\ge 5(x-4)+1,\\ 4x+1\le 43-3(7+x)\end{cases}\)

\(\begin{cases}7x+3\ge 5x-20+1,\\ 4x+1\le 43-21-3x\end{cases}\)

\(\begin{cases}7x+3\ge 5x-19,\\ 4x+1\le 22-3x\end{cases}\)

\(\begin{cases}7x-5x\ge -19-3,\\ 4x+3x\le 22-1\end{cases}\)

\(\begin{cases}2x\ge -22, / : 2 \\ 7x\le 21 / : 7 \end{cases}\)

\(\begin{cases}x\ge -11, \\ x\le 3 \end{cases}\)

Ответ: \((-11; 3)\).

г) \(\begin{cases}3(2-3p)-2(3-2p)>p,\\ 6 < p^2 - p(p-8) \end{cases}\)

\(\begin{cases} \cancel{6}-9p-\cancel{6}+4p>p,\\ 6 < \cancel{p^2} - \cancel{p^2}+8p \end{cases}\)

\(\begin{cases} -5p>p,\\ 6 <8p \end{cases}\)

\(\begin{cases} -5p - p > 0,\\ -8p < -6  / : (-8) \end{cases}\)

\(\begin{cases} -4р > 0, / : (-4) \\ p > \frac68 \end{cases}\)

\(\begin{cases} р < 0, \\ p > \frac34 \end{cases}\)

Ответ: нет решений.

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении систем неравенств сначала раскрываем скобки, используя распределительное свойство умножения, затем используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.