Упражнение 962 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\((a+5)x^2 + 4x - 20 = 0\)

\(A = a+5,\; B = 4,\; C = -20\).

\(D = B^2 - 4AC =\)

\(=4^2 - 4(a+5)(-20)=\)

\( = 16 - 4(a+5)(-20)=\)

\( = 16 + 80(a+5)=\)

\( = 16 + 80a + 400=\)

\( = 80a + 416\).

Уравнение не имеет корней при

\(D < 0.\)

\( 80a + 416 < 0\)

\(80a < -416\)   \(/ : 80\)

\(a < -\frac{416}{80}\).

\(a < -\frac{26}{5}\).

\(a < 5,2\)

Ответ: \((-\infty; 5,2)\).

Пояснения:

Для квадратного уравнения

\(Ax^2 + Bx + C = 0\) наличие решений зависит от дискриминанта:

\[D = B^2 - 4AC\]

- Если \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня.

- Если \(D = 0\), уравнение имеет один корень.

- Если \(D < 0\), то корней нет.

В данной задаче коэффициенты зависят от переменной \(a\). Поэтому условие отсутствия корней сводится к неравенству \(D < 0\).

Мы нашли, что дискриминант равен \(D = 80a + 416\).

При решении неравенства использовали то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Решив неравенство \(80a + 416 < 0\), получили \(a < 5,2\). Значит, множество значений параметра \(a\), при которых уравнение не имеет корней определяется промежутком \((-\infty; 5,2)\).

Пусть \(x\) км туристы проходят в день сейчас. Если они будут идти на 5 км больше, то за 6 дней пройдут \(6(x + 5)\) км, и это больше 90 км. Если они будут идти на 5 км меньше, то за 8 дней пройдут \(8(x - 5)\) км, и это меньше 90 км:

Составим систему неравенств:

\(\begin{cases} 6(x + 5) > 90,\\ 8(x - 5) < 90 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 6x + 30 > 90,\\ 8x - 40 < 90 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 6x > 90 - 30,\\ 8x < 90 + 40 \end{cases} \)

\(\begin{cases} 6x > 60,  / : 6 \\ 8x <130  / : 8 \end{cases} \)

\(\begin{cases} x > 10, \\ x <\frac{130}{8} \end{cases} \)

\(\begin{cases} x > 10, \\ x <\frac{65}{4} \end{cases} \)

\(\begin{cases} x > 10, \\ x < 16,25 \end{cases} \)

\(x \in (10; 16,25)\).

Ответ: в день туристы проходят более \(10\) км, но менее \(16,25\) км.

Пояснения:

Обозначив расстояние, которое туристы проходят в день сейчас за \(x\) км. Составляем систему из двух неравенств, учитывая то, что при увеличении дневного пути на 5 км, общее пройденное расстояние, равное \(6(x + 5)\), становится больше 90 км. А при уменьшении дневного пути на 5 км, общее пройденное расстояние, равное \(8(x - 5)\), становится меньше 90 км.

При решении системы неравенств используем то, что

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.