Упражнение 961 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((2 - 2n) - (5n - 27) > 0\)

\(2 - 2n - 5n + 27 > 0\)

\(29 - 7n > 0\)

\(-7n > -29\)   \(/ : (-7)\)

\(n < \dfrac{29}{7}\)

\(n < 4\dfrac{1}{7}\)

\(n \in (- \infty; 4\dfrac{1}{7})\)

Ответ: при \(n = 1, 2, 3, 4\).

б) \((-27,1 + 3n) + (7,1 + 5n) < 0\)

\(-27,1 + 3n + 7,1 + 5n < 0\)

\(-20 + 8n < 0\)

\(8n < 20\)   \(/ : 8\)

\(n < \frac{20}{8}\)

\(n < \frac52\)

\(n < 2,5\)

Ответ: при \(n = 1, 2\).

Пояснения:

Чтобы определить при каких натуральных значениях \(n\) разность положительна, а сумма отрицательна, нужно составить неравенство и решить его. Затем из промежутка, который является решением этого неравенства выбрать натуральные значения.

При решении неравенств сначала раскрываем скобки, учитывая знаки, стоящие перед ними, и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

\(x^2 - (2b - 2)x + b^2 - 2b = 0\)

\(A = 1\),  \(B =-(2b - 2)\), 

\(C = b^2 - 2b\)

\( D = B^2 - 4AC=\)

\(= (2b - 2)^2 - 4(b^2 - 2b) =\)

\(=\cancel{4b^2} - \cancel{8b} + 4 - \cancel{4b^2} + \cancel{8b} =\)

\(=4 >0 \) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = \sqrt{4} = 2\)

\(x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} =\)

\(x_1= \frac{2b - 2 + 2}{2} = \frac{2b}{2}=b\)

\(x_2= \frac{2b - 2 - 2}{2} = \frac{2b - 4}{2}=\)

\(=\frac{\cancel2(b - 2)}{\cancel2}=b-2\)

\( \begin{cases} -5 < b - 2 < 5,\\ -5 < b < 5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -5 + 2 < b - 2 + 2 < 5 + 2,\\ -5 < b < 5. \end{cases} \)

\( \begin{cases} -3 < b  < 7,\\ -5 < b < 5. \end{cases} \)

Ответ: при \(b \in (-3;\,5).\)

Пояснения:

При решении учитываем то, что квадратное уравнение

\(Ax^2 + Bx + C=0\) имеет два корня в том случае, когда дискриминант

\(D = B^2-4AC > 0\), и тогда корни уравнения:

\(x_{1,2} =\frac{-B \pm \sqrt D}{2A}\).

По условию корни уравнения должны принадлежать интервалу \((-5; 5)\). Поэтому, найдя корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\), мы рассматриваем систему из двух двойных неравенств относительно переменной \(b\).

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении первого неравенства системы используем то, что если к частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.