Упражнение 1071 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№1071 учебника 2023-2025 (стр. 238):
Найдите область определения функции, заданной формулой:
а) \(y=4x-8\);
б) \(y=x^2-5x+1\);
в) \(y=\dfrac{2x}{5-x}\);
г) \(y=\dfrac{3}{(x-4)(x+1)}\);
д) \(y=\dfrac{1}{x^2+1}\);
е) \(y=\sqrt{x-5}\).
№1071 учебника 2013-2022 (стр. 246):
Дана функция \[ y=\begin{cases} x^{-1}, \;если\; x<-\dfrac12,\\[2mm] 4x, \;если\; -\dfrac12\le x\le \dfrac12,\\[2mm] x^{-1}, \;если\; x>\dfrac12. \end{cases} \] Сколько корней имеет уравнение:
а) \(y=2\);
б) \(y=\dfrac13\);
в) \(y=0\);
г) \(y=-3\)?
Подсказка
№1071 учебника 2023-2025 (стр. 238):
№1071 учебника 2013-2022 (стр. 246):
Вспомните:
- График функции обратной пропорциональности.
- Степень с целым отрицательным показателем.
- Деление и дроби.
- Деление десятичных дробей.
- Деление рациональных чисел.
- Координаты точки на координатной плоскости.
- Числовые промежутки.
- Линейная функция, ее график.
- Параллельные прямые.
Ответ
№1071 учебника 2023-2025 (стр. 238):
а) \(D=(- \infty; + \infty)\).
б) \(D=(- \infty; + \infty)\).
в) \(5-x\ne0\)
\(x\ne5\)
\(D=(- \infty;5)\cup(5; +\infty)\)
г) \((x-4)(x+1)\ne0\)
\(x\ne4\) и \(x\ne-1\)
\(D=(- \infty; -1)\cup(-1; 4)\cup(4; +\infty)\)
д) \(x^2+1>0\) для всех \(x\in\ R\)
\(D=(- \infty; + \infty)\).
е) \(x-5\ge0\)
\(x\ge5\)
\(D=[5; +\infty)\).
Пояснения:
— У многочленов области определения все действительные числа: нет ограничений на \(x\). Поэтому в пунктах а), б) и д) (так как \(x^2+1\ne0\) всегда) получаем \(\mathbb R\).
— Для дробно-рациональных выражений знаменатель не должен обращаться в ноль: решаем уравнение знаменателя и исключаем его корни из \(\mathbb R\). Это даёт \(x\ne5\) (в) и \(x\ne-1,4\) (г).
— Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательно: \(x-5\ge0\Rightarrow x\ge5\), значит область определения \([5,+\infty)\).
№1071 учебника 2013-2022 (стр. 246):
\[ y=\begin{cases} x^{-1}, \;если\; x<-\dfrac12,\\[2mm] 4x, \;если\; -\dfrac12\le x\le \dfrac12,\\[2mm] x^{-1}, \;если\; x>\dfrac12. \end{cases} \]
\(y = x^{-1} = \frac{1}{x}\), \(x < -\dfrac12\)
| \(x\) | -0,5 | -1 | -2 |
| \(y\) | -2 | -1 | -0,5 |
\(y=4x\), \(-\dfrac12\le x\le \dfrac12\)
| \(x\) | -0,5 | 0,5 |
| \(y\) | -2 | 2 |
\(y = x^{-1} = \frac{1}{x}\), \(x > \dfrac12\)
| \(x\) | 0,5 | 1 | 2 |
| \(y\) | 2 | 1 | 0,5 |
а) Если \(y=2\), то уравнение имеет 1 корень.
б) Если \(y=\dfrac13\), то уравнение имеет 2 корня.
в) Если \(y=0\), то уравнение имеет 1 корень.
г) Если \(y=-3\), то уравнение не имеет корней.
Пояснения:
Чтобы определить количество корней уравнения при заданном значении \(y\), нужно построить график заданной кусочной функции, которая состоит из трех частей:
1) \(y = x^{-1}\) при \(x < -\dfrac12\);
2) \(y = 4x\) при \(-\dfrac12\le x\le \dfrac12\);
3) \(y = x^{-1}\) при \(x > \dfrac12\).
\(y = a\) - это прямая, параллельная оси \(x\). Построив в той же системе координат, что и график кусочной функции прямые \(y = a\) при заданном значении \(a\), определяем количество точек пересечения графика рассматриваемой кусочной функции с прямой \(y = a\) при заданном значении \(a\). А количество точек пересечения соответствует количеству корней уравнения.
Вернуться к содержанию учебника