Упражнение 1138 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\[ \{c\} = c - [c], \]

где \([c]\) — целая часть числа \(c\).

1) \(c = 5 \)

\(\{5\} = 5 - [5]= 5 - 5 = 0.\)

2) \(c = -\dfrac{8}{9}\)

\( \{c\} =-\dfrac{8}{9} - [-\dfrac{8}{9}]= -\dfrac{8}{9} - (-1) =\)

\(=1 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{1}{9}. \)

3) \(c = -0{,}95\)

\( \{c\} = -0{,}95 - [-0{,}95]= \)

\(=-0{,}95 - (-1)=1 - 0{,}95= 0{,}05. \)

4) \(c = 0\)

\(\{c\} = 0 - [0] = 0 - 0 = 0.\)

5) \(c = 1{,}17\)

\(\{c\} =1{,}17 - [1{,}17] = 1{,}17 - 1 = \)

\(=0{,}17.\)

Ответ: \(\{5\} = 0;\)   \(\{-\dfrac{8}{9}\} = \dfrac{1}{9};\)

\(\{-0{,}95\} = 0{,}05;\)   \(\{0\} = 0;\)

\(\{1{,}17\} = 0{,}17.\)

Пояснения:

Целой частью числа \(x\) называется наибольшее целое число, не превосходящее \(x\). Целая часть числа \(x\) обозначается так: \([x]\).

Дробная часть числа — это разность между числом и его целой частью, дробная часть числа \(x\) обозначается так: \(\{x\}\) и \(\{x\} = x - [x]\). Дробная часть числа всегда неотрицательна: \(0 \le \{x\} < 1.\)

Для положительных чисел дробная часть — это часть после запятой. Для отрицательных — нужно сначала найти целую часть, а затем вычислить по формуле \(\{x\} = x - [x]\).

Пусть второй слесарь может выполнить все задание за \(x\) часов, тогда первый — за \(x + 7\) часов.

Производительность второго — \(\frac{1}{x}\),

производительность первого — \(\frac{1}{x + 7}\).

Совместная производительность:

\( \frac{1}{x} ^{\color{blue}{\backslash x+7}} + \frac{1}{x + 7} ^{\color{blue}{\backslash x}} =\frac{x+7+x}{x(x + 7}=\)

\(=\frac{2x + 7}{x(x + 7)}. \)

Половину задания они выполнили вместе за:

\(\frac12 : \frac{2x + 7}{x(x + 7)} = \frac12\cdot\frac{x(x + 7)}{2x + 7)}= \)

\(=\frac{x(x + 7)}{2(2x + 7)}\) (ч).

Оставшуюся половину задания второй слесарь выполнит за:

\(\frac12 : \frac1x = \frac12\cdot x =\frac x2\) (ч).

Если бы слесари все задание выполняли вместе, то на нее у них бы ушло:

\(1 : \frac{2x + 7}{x(x + 7)} =\frac{x(x + 7)}{2x + 7} \) (ч).

Составим уравнение:

\(\frac{x(x + 7)}{2(2x + 7)} + \frac x2 = \frac{x(x + 7)}{2x + 7} + 4,5\)

\(\frac{x^2 + 7x}{2(2x + 7)} + \frac x2 = \frac{x^2 + 7x}{2x + 7} +\frac92\)  \(/\times2(2x+7)\)

\(x^2 + 7x + x(2x+7) = 2(x^2 + 7x) + 9(2x+7)\)

\(x^2 + 7x + 2x^2 + 7x = 2x^2 + 14x + 18x + 63\)

\(3x^2 + 14x = 2x^2 + 32x + 63\)

\(3x^2 + 14x - 2x^2 - 32x - 63=0\)

\(x^2 - 18x - 63 =0\)

\(a = 1\),  \(b = -18\),  \(c = -63\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(= (-18)^2 - 4\cdot1\cdot(-63) =\)

\(=324 + 252 = 576\),   \(\sqrt D = 24\)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1 = \frac{18 + 24}{2\cdot1} = \frac{42}{2} = 21\).

\(x_2= \frac{18 - 24}{2\cdot1} = -\frac{6}{2} = -2\) - не удовлетворяет условию.

1) \(21\) ч - время, за которое второй слесарь выполнит все задание.

2) \(21 + 7 = 28\) (ч) - время, за которое первый слесарь выполнит все задание.

Ответ: 28 ч и 21 ч.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью уравнения.

Вводим обозначения и по условию задачи составляем дробное рациональное уравнение:

\(\frac{x(x + 7)}{2(2x + 7)} + \frac x2 = \frac{x(x + 7)}{2x + 7} + 4,5\).

которое сводится к квадратному уравнению:

\(x^2 - 18x - 63 =0\).

При решении уравнения получаем два корня:

\(x_1= 21\) и \(x_2= -2\).

Но отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом. Значит, второй слесарь выполнит все задание за \(21\) ч. Первому слесарю на выполнение задания понадобится на 7 ч больше, чем второму, значит, первый слесарь выполнит все задание за:

\(21 + 7 = 28\) (ч).