Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№1134 учебника 2023-2025 (стр. 254):
Является ли возрастающей или убывающей функция:
а) \( y = 5x + \sqrt{x} \);
б) \( y = -x + \sqrt{-x} \);
в) \( y = x^2 + \sqrt{x} \)?
№1134 учебника 2013-2022 (стр. 256):
Из пунктов \(A\) и \(B\) одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста и встретились в 30 км от пункта \(B\). Прибыв в пункты \(A\) и \(B\), они повернули обратно. Вторая встреча произошла в 18 км от пункта \(A\). Найдите расстояние между пунктами \(A\) и \(B\).
№1134 учебника 2023-2025 (стр. 254):
Вспомните:
№1134 учебника 2013-2022 (стр. 256):
Вспомните:
№1134 учебника 2023-2025 (стр. 254):
а) \( y = 5x + \sqrt{x} \) - возрастающая функция.
ОДЗ: \( x \ge 0 \).
\(y = 5x \) - возрастающая функция.
\( y =\sqrt{x} \) - возрастающая функция.
Ответ: функция возрастает при \( x \ge 0 \).
б) \( y = -x + \sqrt{-x} \) - убывающая функция.
ОДЗ: \( -x \ge 0\)
\(x \le 0 \).
\(y = -x \) - убывающая функция.
\(y = \sqrt{-x} \) - убывающая функция.
Ответ: функция убывает при \( x \le 0 \).
в) \( y = x^2 + \sqrt{x} \) - возрастающая функция.
ОДЗ: \( x \ge 0 \).
\(y = x^2 \) - возрастающая функция при \( x \ge 0 \).
\(y = \sqrt{x} \) - возрастающая функция.
Ответ: функция возрастает при \( x \ge 0 \).
Пояснения:
Для определения, возрастает или убывает функция, нужно проанализировать, увеличивается ли значение \( y \) при увеличении \( x \). Если при увеличении \(x\) увеличивается \(y\), то функция возрастающая. Если при уменьшении \(x\) уменьшается \(y\), то функция убывающая.
Основные свойства:
Если обе составляющие возрастают, то их сумма возрастает. Если обе убывают — сумма убывает.
№1134 учебника 2013-2022 (стр. 256):
Пусть расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно \(S\) км \(S > 30\), а время до первой встречи равно \(t\) ч.
Первый велосипедист (из \(A\)):
1) \(S - 30\) (км) - проехал до первой встречи.
2) \(\frac{S-30}{t}\) (км/ч) - скорость первого велосипедиста.
3) \(30 : \frac{S-30}{t}=30\cdot\frac{t}{S-30}=\)
\(=\frac{30t}{S-30}\) (ч) - время движения от первой встречи до пункта \(B\).
4) \(S - 18\) (км) - проехал от пункта \(B\) до второй встречи.
5) \((S - 18) : \frac{S-30}{t}=\)
\(=(S - 18) \cdot \frac{t}{S-30}=\)
\(=\frac{(S - 18)t}{S-30}\) (ч) - время движения от пункта \(B\) до второй встречи.
6) \(\frac{30t}{S-30} + \frac{(S - 18)t}{S-30}\) (ч\) - время движения от первой встречи до второй.
Второй велосипедист (из \(B\)):
1) \(30\) (км) - проехал до первой встречи.
2) \(\frac{30}{t}\) (км/ч) - скорость второго велосипедиста.
3) \((S - 30) : \frac{30}{t} = (S - 30) \cdot \frac{t}{30}= \)
\(=\frac{(S - 30)t}{30}\) (ч) - время движения от первой встречи до пункта \(А\).
4) \(18\) (км) - проехал от пункта \(A\) до второй встречи.
5) \(18 : \frac{30}{t}=18 \cdot \frac{t}{30}=\)
\(=\frac{18t}{30}\) (ч) - время движения от пункта \(A\) до второй встречи.
6) \(\frac{(S - 30)t}{30} + \frac{18t}{30}\) (ч) - время движения от первой встречи до второй.
Составим уравнение:
\(\frac{30t}{S-30} + \frac{(S - 18)t}{S-30} = \frac{(S - 30)t}{30} + \frac{18t}{30}\) \(/ : t\)
\(\frac{30}{S-30} + \frac{S - 18}{S-30} = \frac{S - 30}{30} + \frac{18}{30}\)
\(\frac{30 + S - 18}{S-30} = \frac{S - 30 + 18}{30}\)
\(\frac{S+ 12}{S-30} = \frac{S - 12}{30}\)
\((S - 30)(S - 12) = 30(S + 12)\)
\(S^2 - 12S - 30S +360 = 30S + 360\)
\(S^2 -42S + \cancel{360} - 30S - \cancel{360} = 0\)
\(S^2 - 72S = 0\)
\(S(S - 72) = 0\)
\(S = 0\) или \(S - 72 = 0\)
\(S = 72\)
\(S > 30\), значит, расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно \(72\) км.
Ответ: \(72\) км.
Пояснения:
Решаем задачу с помощью уравнения.
Вводим обозначения: расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно \(S\) км \(S > 30\), а время до первой встречи равно \(t\) ч.
Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время.
Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость.
По условию задачи выражаем время движения каждого велосипедиста от первой их встречи до второй и, учитывая то, что время одинаковое, составляем уравнение, приравняв эти выражения:
\(\frac{30t}{S-30} + \frac{(S - 18)t}{S-30} = \frac{(S - 30)t}{30} + \frac{18t}{30}\).
Учитывая то, что время \(t \ne 0\), обе части уравнения разделили на \(t\) и получили уравнение с одной переменной:
\(\frac{30}{S-30} + \frac{S - 18}{S-30} = \frac{S - 30}{30} + \frac{18}{30}\).
Выполнив сложение дробей с одинаковыми знаменателями в левой и правой частях уравнения, получили пропорцию:
\(\frac{S+ 12}{S-30} = \frac{S - 12}{30}\).
Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, тогда имеем:
\((S - 30)(S - 12) = 30(S + 12)\).
Раскрыв скобки и выполнив преобразования, получили неполное квадратное уравнение:
\(S^2 - 72S = 0\), из которого имеем:
\(S = 0\) или \(S - 72 = 0\).
Согласно условию \(S > 30\), значит, расстояние между пунктами \(A\) и \(B\) равно \(72\) км.
Вернуться к содержанию учебника