Упражнение 1130 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( f(x) > 10 \)

\[ \sqrt{x} > 10 \]

\[ x > 100 \]

Ответ: при \( x > 100 \) функция \( f(x) > 10 \).

б) \( 3 < f(x) < 5 \)

\[ 3 < \sqrt{x} < 5 \]

\[ 9 < x < 25 \]

Ответ: при \( 9 < x < 25 \) функция \( 3 < f(x) < 5 \)

Пояснения:

Функция \( f(x) = \sqrt{x} \) определена при \( x \ge 0 \) и является возрастающей, то есть при увеличении \( x \) увеличивается и значение функции.

Чтобы решить неравенства, заменяем \( f(x) \) на \( \sqrt{x} \) и возводим части в квадрат (так как обе стороны неотрицательные).

Таким образом, неравенства с функцией \( \sqrt{x} \) превращаются в неравенства относительно \( x \):

1) \( \sqrt{x} > a \), откуда \(x > a^2\),

2) \( \sqrt{x} < b \), откуда \( x < b^2. \)

Поэтому:

\( f(x) > 10 \) при \(x > 100, \)

\( 3 < f(x) < 5 \) при \( 9 < x < 25. \)

Скорость автобуса - \(40\) км/ч.

Скорость машины - \(50\) км/ч.

Время в пути автобуса до встречи с машиной:

\(15\) мин = \(\frac{15}{60} \) ч = \(\frac14\) ч.

Расстояние между М и N - \(x\) км.

1) \(40 \cdot \frac14 = 10 \) (км) - расстояние от М до первой встречи автобуса и машины.

2) \(10 : 50 = \frac15\) (ч) - время, которое затратила машина на путь от места первой встречи до города М.

3) \(\frac{x - 10 - 20}{40} = \frac{x - 30}{40}\) (ч) - время, которое затратил автобус на путь от первой встречи с машиной до второй.

4) \(\frac15 + \frac14 + \frac{x - 20}{50}\) (ч) - время, которое затратила машина на путь от первой встречи с автобусом до второй.

5) Составим уравнение:

\(\frac{x - 30}{40} = \frac15 + \frac14 + \frac{x - 20}{50}\)  \(/\times200\)

\(5(x-30)=40 + 50+4(x-20)\)

\(5x - 150 = 90 + 4x - 80\)

\(5x - 4x = 10 + 150\)

\(x = 160\)

Ответ: расстояние между городами M и N равно \(160\) км.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью уравнения, обозначив расстояние между городами М и N через \(x\) и учитывая то, что время в пути с момента первой встречи до второй встречи у машины и автобуса одинаковое.

К моменту первой встречи автобус проехал 10 км, двигаясь из М в N, а к моменту второй встречи автобусу осталось проехать 20 км до пункта N, Значит, учитывая то, что скорость автобуса 40 км/ч, время между встречами:

\(\frac{x - 10 - 20}{40} = \frac{x - 30}{40}\) (ч).

После первой встречи с автобусом машина проехала 10 км до города М, через 15 минут выехала обратно в город N и обогнала автобус в 20 км от города N. Значит, учитывая то, что скорость машины 50 км/ч, время между встречами:

\(\frac15 + \frac14 + \frac{x - 20}{50}\) (ч).

Время между встречами для автобуса и машины одинаковое, поэтому можем составить следующее уравнение:

\(\frac{x - 30}{40} = \frac15 + \frac14 + \frac{x - 20}{50}\).

При решении уравнения сначала избавляемся от знаменателей, домножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение. Затем все компоненты с переменной переносим в левую сторону, а без переменной - в правую, изменив их знаки на противоположные, и выражаем переменную. Получили \(x = 160\), значит, расстояние между городами M и N равно \(160\) км.