Упражнение 1191 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 265

\(\dfrac{(n - 7)^2}{n} =\dfrac{n^2 - 14 n +49}{n}= \)

\(=\dfrac{n^2}{n} - \dfrac{14n}{n} + \dfrac{49}{n}=\)

\(=n - 14 + \dfrac{49}{n}\)

Натуральные делители \(49\):

\(1, 7, 49\).

Если \( n = 1\), то

\(1 - 14 + \dfrac{49}{1} = -13 + 49 = 36\) - натуральное число.

Если \( n = 7\), то

\(7 - 14 + \dfrac{49}{7} = -7 + 7 = 0\) - не является натуральным числом.

Если \( n = 49\), то

\(49 - 14 + \dfrac{49}{49} = 35 + 1 = 36\) - натуральное число.

Ответ: при \(n = 1\) и \(n = 49.\)

Пояснения:

Чтобы дробь \(\dfrac{(n - 7)^2}{n}\) была натуральным числом, числитель \((n - 7)^2\) должен делиться на \(n\) без остатка.

Так как \((n - 7)^2 = n^2 - 14n + 49\), то остаток от деления на \(n\) равен остатку от деления 49 на \(n\).

Следовательно, чтобы дробь \(\dfrac{(n - 7)^2}{n} \) принимала натуральные значения \(49\) должно делиться на \(n\).

Натуральные делители числа 49 — это 1, 7, 49.

Выполнив проверку, получаем, что при \(n = 1\) и \(n = 49\) дробь \(\dfrac{(n - 7)^2}{n} \) принимает натуральные значения.