Упражнение 1189 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 265

а) \((a^{-1} + b^{-1})(a + b)^{-1} =\)

\(=\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \cdot \dfrac{1}{a + b}=\)

\(= \dfrac{\cancel{a + b}}{ab} \cdot \dfrac{1}{\cancel{a + b}} = \dfrac{1}{ab}\)

б) \((a - b)^{-2}(a^{-2} - b^{-2}) =\)

\(=\dfrac{1}{(a - b)^2} \cdot \left(\dfrac{1}{a^2} - \dfrac{1}{b^2}\right)=\)

\(= \dfrac{1}{(a - b)^2} \cdot \dfrac{b^2 - a^2}{a^2b^2} = \)

\(=\dfrac{-(a^2 - b^2)}{a^2b^2(a - b)^2}=\)

\(= -\dfrac{\cancel{(a - b)}(a + b)}{a^2b^2(a - b)^{\cancel{2}}} = \)

\(=-\dfrac{a + b}{a^2b^2(a - b)}\).

Пояснения:

Основные правила отрицательных степеней:

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad \frac{1}{a^{-n}} = a^n. \]

1. Все отрицательные показатели заменяем дробями с положительными степенями.

2. В пункте (а) выражение \((a^{-1} + b^{-1})\) приводим к общему знаменателю \(ab\), получаем \(\dfrac{a+b}{ab}\).

3. Умножаем на \((a + b)^{-1} = \dfrac{1}{a+b}\), что даёт \(\dfrac{1}{ab}\).

4. В пункте (б) раскрываем разность дробей \(\dfrac{1}{a^2} - \dfrac{1}{b^2}\), получаем разность квадратов числителей и сокращаем общий множитель \((a - b)\).

Итоговое выражение содержит только положительные показатели степеней и записано в виде простой дроби.