Упражнение 1285 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 283

\(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\), где \(ad-bc\ne0\)

\( \frac{y_3-y_1}{y_3-y_2}:\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2} =\frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\frac{x_4-x_1}{x_4-x_2} \)

\(y_3-y_1 =\)

\(=\dfrac{ax_3+b}{cx_3+d} ^{\color{blue}{\backslash cx_1+d}} - \dfrac{ax_1+b}{cx_1+d} ^{\color{blue}{\backslash cx_3+d}} =\)

\(=\dfrac{(ax_3+b)(cx_1+d) - (ax_1+b)(cx_3+d)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}=\)

\(=\dfrac{acx_1x_3 + adx_3 + bcx_1 + bd - (acx_1x_3+adx_1 + bcx_3 + bd)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}=\)

\(=\dfrac{\cancel{acx_1x_3} + adx_3 + bcx_1 + \cancel{bd} - \cancel{acx_1x_3}-adx_1 - bcx_3 - \cancel{bd}}{(cx_3+d)(cx_1+d)}=\)

\(=\dfrac{adx_3 + bcx_1 --adx_1 - bcx_3}{(cx_3+d)(cx_1+d)}=\)

\(=\dfrac{ad(x_3 - x_1) - bc(x_3 - x_1)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}=\)

\(=\dfrac{(x_3 - x_1) (ad - bc)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}\)

Аналогично,

\(y_3-y_2 =\dfrac{(x_3 - x_2) (ad - bc)}{(cx_3+d)(cx_2+d)}\);

\(y_4-y_1 = \dfrac{(x_4 - x_1) (ad - bc)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}\);

\(y_4-y_2 = \dfrac{(x_4 - x_2) (ad - bc)}{(cx_4+d)(cx_2+d)}\).

\( \frac{y_3-y_1}{y_3-y_2}:\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2} =\)

\(=\frac{(y_3-y_1)(y_4-y_2)}{(y_3-y_2)(y_4-y_1)}=\)

\(=\frac{\dfrac{(x_3 - x_1) (ad - bc)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}\cdot\dfrac{(x_4 - x_2) (ad - bc)}{(cx_4+d)(cx_2+d)}}{\dfrac{(x_3 - x_2) (ad - bc)}{(cx_3+d)(cx_2+d)}\cdot \dfrac{(x_4 - x_1) (ad - bc)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}}=\)

\(=\dfrac{(x_3 - x_1) (ad - bc)\cdot(x_4 - x_2) (ad - bc)}{(cx_3+d)(cx_1+d)\cdot(cx_4+d)(cx_2+d)} : \dfrac{(x_3 - x_2) (ad - bc)\cdot(x_4 - x_1) (ad - bc)}{(cx_3+d)(cx_2+d)\cdot(cx_4+d)(cx_1+d)}=\)

\(=\dfrac{(x_3 - x_1) {\color{blue}{\cancel{(ad - bc)}}}(x_4 - x_2) {\color{blue}{\cancel{(ad - bc)}}}}{ {\color{red}{\cancel{(cx_3+d)}}}{\color{green}{\cancel{(cx_1+d)}}}{\color{brown}{\cancel{(cx_4+d)}}}{\color{orange}{\cancel{(cx_2+d)}}}} \cdot \dfrac{{\color{red}{\cancel{(cx_3+d)}}}{\color{orange}{\cancel{(cx_2+d)}}}{\color{brown}{\cancel{(cx_4+d)}}}\color{green}{\cancel{(cx_1+d)}}}{(x_3 - x_2) {\color{blue}{\cancel{(ad - bc)}}}(x_4 - x_1) {\color{blue}{\cancel{(ad - bc)}}}}=\)

\(=\dfrac{(x_3 - x_1)(x_4 - x_2)}{(x_3 - x_2)(x_4 - x_1)}=\)

\(=\dfrac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} \cdot \dfrac{x_4 - x_2}{x_4 - x_1}=\)

\(=\dfrac{x_3 - x_1}{x_3 - x_2} : \dfrac{x_4 - x_1}{x_4 - x_2}.\)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Функция \(y\) от \(x\) задана формулой \(y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\), где \(ad-bc\ne0\). Учитывая то, что значениям аргумента \(x_1,x_2,x_3\) и \(x_4\) соответствуют значения функции \(y_1,y_2,y_3\) и \(y_4\), находим значения разностей \(y_3-y_1\), \(y_3-y_2\), \(y_4-y_1\), \(y_4-y_2\). Затем по правилам деления и умножения рациональных дробей, выполнив подстановку найденных разностей, в левую часть данного равенства получаем правую часть равенства.