Упражнение 1282 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 283

\( y=\sqrt{12+2\sqrt{35+2x-x^{2}}}-\sqrt{12-2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\)

\( y^2=\left(\sqrt{12+2\sqrt{35+2x-x^{2}}}-\sqrt{12-2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\right)^2\)

\( y^2=\left(\sqrt{12+2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\right)^2-2\sqrt{12+2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\cdot\sqrt{12-2\sqrt{35+2x-x^{2}}}+\left(\sqrt{12-2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\right)^2\)

\( y^2=12+\cancel{2\sqrt{35+2x-x^{2}}}-2\sqrt{(12+2\sqrt{35+2x-x^{2}})\cdot(12-2\sqrt{35+2x-x^{2}})}+2-\cancel{2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\)

\( y^2=24 - 2\sqrt{(12^2-\left(2\sqrt{35+2x-x^{2}}\right)^2}\)

\( y^2=24 - 2\sqrt{144-4\cdot(35+2x-x^{2})}\)

\( y^2=24 - 2\sqrt{144-140-8x+4x^{2}}\)

\( y^2=24 - 2\sqrt{4-8x+4x^{2}}\)

\( y^2=24 - 2\sqrt{4(1-2x+x^{2})}\)

\( y^2=24 - 2\cdot2\sqrt{(x^{2}-1)^2}\)

\( y^2=24 - 4|x-1|\)

\( y^2=4(6 - |x-1|)\)

\(y \ge 0\)

\( y=\sqrt{4(6 - |x-1|)}\)

\( y=2\sqrt{6 - |x-1|}\)

1) Если \(x - 1 \ge 0\), то есть \(x\ge1\), то

\( y=2\sqrt{6 - (x-1)} =\)

\(=2\sqrt{6 - x +1}=2\sqrt{7-x}\)

Если \(x = 3\), то

\(y=2\sqrt{7-3} = 2\sqrt4 = 2\cdot2=4\) - целое число.

Если \(x = 6\), то

\(y=2\sqrt{7-6} = 2\sqrt1 = 2\cdot1=2\) - целое число.

Если \(x = 7\), то

\(y=2\sqrt{7-7} = 2\sqrt0 =0\) - целое число.

2) Если \(x - 1 < 0\), то есть \(x<1\), то

\( y=2\sqrt{6 + (x-1)} =\)

\(=2\sqrt{6 + x -1}=2\sqrt{5+x}\)

Если \(x = -1\), то

\(y=2\sqrt{5+(-1)} = 2\sqrt4=2\cdot2 = 4\) - целое число.

Если \(x = -4\), то

\(y=2\sqrt{5+(-4)} = 2\sqrt1=2\cdot1 = 2\) - целое число.

Если \(x = -5\), то

\(y=2\sqrt{5+(-5)} = 2\sqrt0=0\) - целое число.

Ответ: \(0;  2;  4\).

Пояснения:

Левую и правую части функции возводим в квадрат, учитывая то, что \(y\ge0\), так как

\(\sqrt{12+2\sqrt{35+2x-x^{2}}} \ge \sqrt{12-2\sqrt{35+2x-x^{2}}}\)

При выполнении преобразований использованы следующие приемы и формулы:

- свойства арифметического квадратного корня:

\((\sqrt a)^2 = a\);

\(\sqrt a\cdot\sqrt b = \sqrt{ab}\);

\(\sqrt{a^2} = |a|\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

- разность квадратов двух выражений:

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\);

- свойства модуля:

\(|a| = a\), при \(a \ge0\),

\(|a| = -a\), при \(a < 0\).

После преобразований получили

\( y=2\sqrt{6 - |x-1|}\).

Далее рассмотрели два случая:

\(x - 1 \ge 0\)  и  \(x - 1 < 0\).

В каждом случае подобрали такие целые значения \(x\), при которых \(y\) - целое число.