Упражнение 1279 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 282

\(\overline{ab} = 10a + b\), \(b > a\).

\(\dfrac{\overline{ab}}{a + b}=k\), где \(k\) -  целое число.

\(\dfrac{10a + b}{a + b} = k\)     \(/\times (a+b)\)

\( 10a + b = k(a + b)\)

\( 10a + b = ka + kb \)

\( 10a - ka = kb - b \)

\((10 - k)a = (k - 1)b \)

\(b > a\), значит, \(10 - k > k - 1\)

\(-k - k > -1 - 10\)

\(-2k > -11\)   \( /: (-2)\)

\(k < 5,5\)

\(k = 1; 2; 3; 4; 5\)

1) При \(k = 1\):

\((10 - 1)a = (1 - 1)b \)

\(9a = 0b\)

\(9a = 0\)

\(a = 0\) - не подходит, так как \(\overline{ab} \) - двузначное число и в нем \(a \ne 0\).

2) При \(k = 2\):

\((10 - 2)a = (2 - 1)b \)

\(8a = b\)

\(a = 1\),   \(b = 8\)

Число \(18\).

3) При \(k = 3\):

\((10 - 3)a = (3 - 1)b \)

\(7a = 2b\)

\(a = 2\),   \(b = 7\)

Число \(27\).

4) При \(k = 4\):

\((10 - 4)a = (4 - 1)b \)

\(6a = 3b\)   \(/ : 3\)

\(2a= b\)

\(a = 1\),   \(b = 2\)

\(a = 2\),   \(b = 4\)

\(a = 3\),    \(b = 6\)

\(a = 4\),   \(b = 8\)

Числа \(12, 24, 36, 48\).

5) При \(k = 5\):

\((10 - 5)a = (5 - 1)b \)

\(5a = 4b\)

\(a = 4\),   \(b = 5\)

Число \(45\).

Ответ: \(12,\ 18,\ 24,\ 27,\ 36,\ 45,\ 48.\)

Пояснения:

Двузначное число \(\overline{ab}\) — это \(10a + b\).

Требуется, чтобы \(\dfrac{10a + b}{a + b}\) было целым, то есть без остатка делилось на \(a + b.\)

Переход к уравнению

\((10 - k)a = (k - 1)b\)

позволяет искать целые пары цифр, удовлетворяющие этому соотношению.

Подбор значений \(k\) даёт все возможные решения, где \(a\) и \(b\) — цифры, а \(b > a.\)