Упражнение 1277 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 282

\(x^{2} + 12x + 30 = 0\)

Пусть корни уравнения — \(x_{1}\) и \(x_{2}\).

По теореме Виета:

\[ x_{1} + x_{2} = -12, \quad x_{1}x_{2} = 30. \]

\( x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =(x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}) - 2x_{1}x_{2}=\)

\(=(x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}= \)

\(=(-12)^{2} - 2 \cdot 30 = 144 - 60 = 84. \)

Ответ: \(84\).

Пояснения:

Для квадратного уравнения

\(x^{2} + px + q = 0\) по теореме Виета:

\[ x_{1} + x_{2} = -p, \quad x_{1}x_{2} = q. \]

Чтобы найти сумму квадратов корней, используем метод выделения полного квадрата двучлена:

\[ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}. \]

В данном случае \(p = 12\), \(q = 30\), значит:

\[ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =  84. \]

Таким образом, сумма квадратов корней данного уравнения равна \(84\).