Упражнение 1273 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 282

\( x^{4}-5x^{3}-4x^{2}-7x+4 = 0\)

\(x^{4}-4x^{2}+4=5x^{3}+7x \)

\((x^2 - 2)^2 = x(5x^2 + 7)\)

\((x^2 - 2)^2 \ge 0\),  \(5x^2 + 7 > 0\),

поэтому \(x \ge 0\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При доказательстве сначала используем то, что корни уравнения не изменятся, если компоненты уравнения перенести из одной части уравнения в другую, изменив их знаки на противоположные. Получим:

\(x^{4}-4x^{2}+4=5x^{3}+7x \).

Далее в левой части уравнения применяем формулу квадрата разности двух выражений, а в правой выносим общий множитель за скобки:

\((x^2 - 2)^2 = x(5x^2 + 7)\).

Квадрат любого числа является неотрицательным числом, значит, \((x^2 - 2)^2 \ge 0\),  \(5x^2 + 7 > 0\). А левая и правая части уравнения должны быть одного знака, следовательно, \(x \ge 0\), так как только в этом случае произведение в правой части будет неотрицательным числом.