Упражнение 1278 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 282

\(x^{2} - 2x - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^{2}} - 13 = 0.\)

ОДЗ: \(x \neq 0\)

\((x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}) - (2x + \dfrac{2}{x}) - 13 = 0.\)

\((x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}}) - 2(x + \dfrac{1}{x}) - 13 = 0.\)

Пусть \(x + \dfrac{1}{x} = t\), тогда

\((x + \dfrac{1}{x})^2 = t^2\)

\(x^2 + 2\cdot x\cdot \frac1x + \dfrac{1}{x^2} = t^2\)

\(x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2\)

\(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2\)

\(t^2 - 2 -2t -13 = 0\)

\(t^2 -2t -15 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -2\),  \(c = -15\)

\( D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-15) =\)

\(=4 + 60 = 64, \)   \(\sqrt D = 8\).

\( t_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a} \)

\(t_{1} = \dfrac{-(-2) + 8}{2\cdot1} = \dfrac{10}{2} = 5,\)

\(t_{2} = \dfrac{-(-2) - 8}{2\cdot1} = \dfrac{-6}{2} = -3.\)

1) При \(t = 5\):

\( x + \dfrac{1}{x} = 5\)   \(/\times x\)

\(x^2 + 1 = 5x\)

\(x^{2} - 5x + 1 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \( c = 1\)

\( D = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot(1) =\)

\(=25 - 4 = 21\),   \(\sqrt D = \sqrt{21}\).

\( x_{1} = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}. \)

\( x_{2} = \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}. \)

2) При \(t = -3\):

\( x + \dfrac{1}{x} = -3 \)     \(/\times x\)

\(x^2 +1=-3x\)

\(x^{2} + 3x + 1 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 3\),  \( c = 1\)

\( D = 3^2 - 4\cdot1\cdot(1) =\)

\(=9 - 4 = 5\),   \(\sqrt D = \sqrt{5}\).

\[ x_{3,4} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}. \]

Ответ: \( \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}, \quad  \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}\)

\(\dfrac{-3 + \sqrt{5}}{2}\quad \dfrac{-3 - \sqrt{5}}{2}. \)

Пояснения:

Уравнение симметрическое относительно степеней \(x\) и \(\dfrac{1}{x}\), решается введением новой переменной \(t = x + \dfrac{1}{x}\).

После подстановки получаем квадратное уравнение относительно \(t\), решение которого даёт возможные значения выражения \(x + \dfrac{1}{x}\).

Каждому найденному \(t\) соответствует квадратное уравнение относительно \(x\), из которого находятся все 4 корня исходного уравнения.