Упражнение 1280 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 282

Пусть \(x_1, x_2, x_3\) такие, что сумма

\( \dfrac{x_1}{x_1+1}+\dfrac{x_2}{x_2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} \) - натуральное число.

\(\dfrac{x_1}{x_1+1} < 1\),  \(\dfrac{x_2}{x_2+1} < 1\),

\(\dfrac{x_3}{x_3+1} < 1\), так как дроби обыкновенные, значит

\( \dfrac{x_1}{x_1+1}+\dfrac{x_2}{x_2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} < 3\)

Если \(x_1 = 1\), то \(\dfrac{x_1}{x_1+1} = \dfrac12,\)

Если \(x_1 = 2\), то \(\dfrac{x_1}{x_1+1} = \dfrac23.\)

\(\dfrac23 > \dfrac12\), значит, \(\dfrac{x_1}{x_1+1} > \dfrac12.\)

Аналогично,

\(\dfrac{x_2}{x_2+1} > \dfrac12\)  и  \(\dfrac{x_3}{x_3+1} >\dfrac12\).

Тогда

\( \dfrac{x_1}{x_1+1}+\dfrac{x_2}{x_2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} > \dfrac12 + \dfrac12 + \dfrac12\)

\( \dfrac{x_1}{x_1+1}+\dfrac{x_2}{x_2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} > \dfrac32\)

Получаем:

\( \dfrac32 < \dfrac{x_1}{x_1+1}+\dfrac{x_2}{x_2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} < 3\)

Следовательно,

\(\dfrac{x_1}{x_1+1}+\dfrac{x_2}{x_2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} = 2\) - натуральное число.

Пусть \(x_1 = 1\),  \(x_2 = 2\)

\(\dfrac{1}{1+1}+\dfrac{2}{2+1}+\dfrac{x_3}{x_3+1} = 2\)

\(\dfrac{1}{2} ^{\color{blue}{\backslash3}} +\dfrac{2}{3} ^{\color{blue}{\backslash2}} +\dfrac{x_3}{x_3+1} = 2\)

\(\dfrac{3}{6} +\dfrac{4}{6} +\dfrac{x_3}{x_3+1} = 2\)

\(\dfrac{7}{6} + \dfrac{x_3}{x_3+1} = 2\)

\(\dfrac{x_3}{x_3+1} = 2 ^{\color{blue}{\backslash6}} - \dfrac{7}{6}\)

\(\dfrac{x_3}{x_3+1} = \dfrac{12}{6} - \dfrac{7}{6}\)

\(\dfrac{x_3}{x_3+1} = \dfrac{5}{6}\) при \(x_3 = 5\)

Ответ: \(\dfrac{1}{2};  \dfrac{2}{3};   \dfrac{5}{6}\).

Пояснения:

При решении используем то, что если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.