Упражнение 1276 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 282

\( x^{2} - 2x + y^{2} - 4y + 5 = 0 \)

\( (x^{2} - 2x + 1) - 1 + (y^{2} - 4y + 4) - 4 + 5 = 0 \)

\( (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 0 \)

\( (x - 1)^{2} =0\)       \( (y - 2)^{2} = 0 \)

\( x - 1 =0\)             \( y - 2 = 0 \)

\( x = 1\)             \( y = 2 \)

Ответ: \( x = 1\), \( y = 2. \)

Пояснения:

При решении уравнения используем метод выделения полного квадрата:

\[ (x - a)^{2} = x^{2} - 2ax + a^{2}. \]

Получим уравнение:

\( (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 0 \)

\((x - 1)^{2} \ge 0\) и \((y - 2)^{2} \ge\), значит, их сумма будет равна нулю, только тогда, когда каждое слагаемое будет равно нулю, то есть:

\( (x - 1)^{2} =0\) и \( (y - 2)^{2} = 0 \).

Следовательно, уравнение имеет единственное решение: \[ x = 1, \quad y = 2. \]