Упражнение 1316 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 286
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
№1316 учебника 2023-2025 (стр. 286):
Постройте график уравнения:
а) \(xy+3x=0\);
б) \((x-y)(y-5)=0\);
в) \((xy-6)(y-3)=0\);
г) \((x-y)^2+(x-1)^2=0\);
д) \(x^2-4=0\);
е) \(y^2-9=0\).
Подсказка
№1316 учебника 2023-2025 (стр. 286):
Вспомните:
- Уравнение с двумя переменными.
- Линейная функция.
- Функция обратной пропорциональности.
- Разность квадратов двух выражений.
- Степень с натуральным показателем.
- Свойства умножения.
- Координаты точки на координатной плоскости.
- Деление и дроби.
- Деление рациональных чисел.
Ответ
№1316 учебника 2023-2025 (стр. 286):
а) \(xy+3x=0\)
\(x(y+3)=0\)
\(x=0\) или \(y + 3 = 0\)
\( y=-3\)
б) \((x-y)(y-5)=0\)
\(x-y=0\) или \(y-5=0\)
\(y=x\) \(y=5\)
| \(x\) | \(0\) | \(3\) |
| \(y\) | \(0\) | \(3\) |
в) \((xy-6)(y-3)=0\)
\(xy-6=0\) или \(y-3=0\)
\(y=\dfrac{6}{x}\) \(y=3\).
\(y=\dfrac{6}{x}\) - гипербола.
| \(x\) | \(-6\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) |
| \(y\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-3\) | \(-6\) |
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) |
| \(y\) | \(6\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) |
г) \((x-y)^2+(x-1)^2=0\)
\(\begin{cases}x-y=0,\\ x-1=0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=x,\\ x=1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=1,\\ x=1 \end{cases}\)
График — точка \((1,1)\).
д) \(x^2-4=0\)
\((x-2)(x+2)=0\)
\(x-2=0\) или \( x+2=0\)
\(x=2\) \( x=-2\)
е) \(y^2-9=0\)
\((y-3)(y+3)=0\)
\(y-3=0\) или \(y+3=0\)
\(y=3\) \(y=-3\)
Пояснения:
Правило нулевого произведения.
\[AB=0 \;\Longleftrightarrow\; A=0 \text{ или } B=0.\] Если уравнение разложено на множители, график — объединение графиков уравнений каждого множителя \(=0\).
Сумма квадратов.
\[a^2+b^2=0 \;\Longleftrightarrow\; a=0 \text{ и } b=0,\] так как квадраты неотрицательны.
Частные типы графиков.
Линейные уравнения \(x=a\) и \(y=b\) задают, соответственно, вертикальные и горизонтальные прямые.
Из уравнения \(xy=c\,(c\ne0)\) получаем \(y=\dfrac{c}{x}\) (область определения: \(x\ne0\)), график — гипербола с асимптотами \(x=0\) и \(y=0\).
Комментарии к пунктам.
а) Группировка \(xy+3x=x(y+3)\) даёт две пересекающиеся прямые \(x=0\) и \(y=-3\) (пересечение \((0,-3)\)).
б) Произведение двух линейных множителей задаёт пару прямых: биссектриса первой и третьей координатной четвертей \(y=x\) и горизонтальная \(y=5\).
в) Один множитель задаёт гиперболу \(y=\dfrac{6}{x}\), другой — прямую \(y=3\); совместный график — их объединение.
г) Сумма квадратов равна нулю в единственной точке, где обе разности равны нулю: \((1,1)\). Значит, графиком является одна точка \((1,1)\).
д) Разложение разности квадратов даёт две параллельные вертикальные прямые \(x=\pm2\).
е) Разложение разности квадратов дает две параллельные горизонтальные прямые \(y=\pm3\).
Вернуться к содержанию учебника