Вернуться к содержанию учебника
№1319 учебника 2023-2025 (стр. 286):
Учитель раздал ученикам 27 карточек, на каждой из которых было написано целое число, и попросил вместо этого числа написать по очереди на доске куб этого числа или его квадрат. Возникающие одинаковые числа с доски стирались. Приведите пример исходного набора чисел, чтобы на доске в итоге оказалось наименьшее возможное количество чисел, если все исходные числа на карточках различны?
№1319 учебника 2023-2025 (стр. 286):
Вспомните:
№1319 учебника 2023-2025 (стр. 286):
\((t^2)^3=(t^3)^2=t^6\) - стираемые числа.
Рассматриваем тройки чисел:
\(t^2;\, t^3;\, -t^3\)
Для каждого числа \(t^2\) пишем куб:
\((t^2)^3=t^6\).
Для каждого из чисел \(t^3\) и \(-t^3\) пишем квадрат:
\((t^3)^2=(\!-t^3)^2=t^6\).
В результате из каждой тройки на доске появляются три одинаковых числа \(t^6\). Всего троек чисел \(27 : 3 = 9\).
\(9\) - наименьшее возможное количество чисел, которые могут остаться в итоге (по одному из каждой тройки).
Пример исходного набора:
\( 2^2,2^3,-2^3,\;3^2,3^3,-3^3,\;5^2,5^3,-5^3,\;\)
\(6^2,6^3,-6^3,\;7^2,7^3,-7^3,\; 10^2,10^3,\)
\(-10^3,\;11^2,11^3,-11^3,\;12^2,12^3,-12^3,\;\)
\(13^2,13^3,-13^3 \),
откуда:
\(4; 8; -8; 9; 27; -27; 25; 125; -125; 36;\)
\(216; -216; 49; 343; -343; 100; 1000;\)
\(-1000; 121; 1331; -1331; 144; 1728; \)
\(-1728; 169; 2197; -2197\)
Пояснения:
Чтобы стирание происходило, нужно, чтобы квадраты и/или кубы разных исходных чисел совпадали. Равенство квадрата и куба возможно только для чисел вида \(t^6\): \((t^2)^3=(t^3)^2=t^6\).
Если взять для каждого \(t\) три числа \(\{t^2,t^3,-t^3\}\) и выбрать соответствующие степени (куб для \(t^2\) и квадраты для \(t^3\) и \(-t^3\)), то все три результата совпадут. Поэтому выгодно разбить 27 чисел на 9 таких троек.
Вернуться к содержанию учебника