Упражнение 782 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(x^2 + px + q = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\).

По теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -p\),

\(x_1 \cdot x_2 = q\).

1) \( \frac{x_1}{x_2}^{\color{blue}{\backslash x_1}}+ \frac{x_2}{x_1} ^{\color{blue}{\backslash x_2}} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}= \)

\(=\frac{x_1^2 +2x_1x_2+ x_2^2-2x_1x_2 }{x_1x_2}= \)

\(=\frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}= \)

\(=\frac{(-p)^2 - 2q}{q}=\frac{p^2 - 2q}{q} \)

2) \( \frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1. \)

Новое уравнение:

\( x^2 - \frac{p^2 - 2q}{q}x + 1 = 0\)    \(/\times q\)

\[ qx^2 - (p^2 - 2q)x + q = 0. \]

Ответ: \(qx^2 - (p^2 - 2q)x + q = 0. \)

Пояснения:

Чтобы составить новое уравнение, нужно найти сумму и произведение новых корней. Для этого используем теорему Виета:

\[ x_1+x_2 = -p, \quad x_1x_2 = q. \]

Сумму \(\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}\) выразили через \((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2\), произведение оказалось равно \(1\).

После подстановки по теореме Виета получили итоговое уравнение: \[ qx^2 - (p^2 - 2q)x + q = 0. \]

а) \(17{,}26 \approx 17{,}3\),

абсолютная погрешность:

\(|17{,}26 - 17{,}3| =|-0,04|= 0{,}04\).

б) \(12{,}034 \approx 12{,}0\),

абсолютная погрешность:

\(|12{,}034 - 12{,}0| =|0,034|= 0{,}034\).

в) \(8{,}654 \approx 8{,}7\),

абсолютная погрешность:

\(|8{,}654 - 8{,}7| = |-0,046|= 0{,}046\).

Пояснения:

При округлении до десятых оставляют одну цифру после запятой. Чтобы округлить правильно, смотрят на следующую цифру:

если она \(\ge 5\), то увеличиваем последнюю оставляемую цифру на 1;

если она \(<5\), то последнюю оставляемую цифру не изменяем.

Абсолютной погрешностью приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.

а) Число \(17{,}26\): вторая цифра после запятой — \(6\), поэтому округляем вверх: \(17{,}3\). Погрешность: \(0{,}04\).

б) Число \(12{,}034\): цифра после десятых — \(3\), поэтому округлять не нужно: \(12{,}0\). Погрешность: \(0{,}034\).

в) Число \(8{,}654\): цифра после десятых — \(5\), округляем вверх: \(8{,}7\). Погрешность: \(0{,}046\).