Упражнение 133 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 49

\((x+3)^2 - (x-3)^2 =\)

\(=(x-2)^2 + (x+2)^2 \)

\(\small(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) =\)

\(\small=(x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4)\)

\(\small x^2 + 6x + 9-x^2 + 6x - 9 =\)

\(\small=x^2 - 4x + 4 + x^2 + 4x + 4\)

\(12x = 2x^2 + 8 \)

\( 2x^2 - 12x + 8 = 0 \)    \(\color{red}:2\)

\( x^2 - 6x + 4 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 4\)

\( D =b^2-4ac=\)

\(=(-6)^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 =\)

\(=36 - 16 = 20,\)

\(\sqrt{D}=\sqrt{20}=2\sqrt5\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_1= \frac{6 +2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5}. \)

\( x_2= \frac{6 -2\sqrt{5}}{2} = 3 -\sqrt{5}. \)

Ответ: \[ x_1 = 3 + \sqrt{5},\quad x_2 = 3 - \sqrt{5}. \]

\( \sqrt{4}<\sqrt{5}< \sqrt{9}\)

\( 2<\sqrt{5}< 3,\Rightarrow 5<3 + \sqrt{5}<6\)

\(0<3 - \sqrt{5}<1\)

Пояснения:

1. Формулы:

Квадрат суммы двух выражений

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Квадрат разности двух выражений

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

2. Уравнение сводится к квадратному, так как все выражения имеют вид \((x+c)^2\), то после раскрытия скобок получается многочлен второй степени.

3. Поиск корней.

После приведения подобные слагаемых получаем квадратное уравнение \[ x^2 - 6x + 4 = 0, \] которое решается через дискриминант.

4. Координатная прямая.

Корни расположены симметрично относительно середины \(x=3\):

\[ 3 - \sqrt{5} \approx 0.764,\qquad 3 + \sqrt{5} \approx 5.236. \]