Упражнение 729 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2-10x+31=-5\)

\[x^2-10x+31+5=0\]

\[x^2-10x+36=0\]

\(a =1\),  \(b = -10\),  \(c = 36\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-10)^2-4\cdot 1\cdot 36=\)

\(=100-144=-44 < 0\) - нет корней.

Ответ: не существует.

б) \(x^2-10x+31=6\)

\(x^2-10x+31-6 = 0\)

\[x^2-10x+25=0\]

\(a = 1\),  \(b = -10\),  \(c = 25\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-10)^2-4\cdot 1\cdot 25=\)

\(=100-100=0\) - один действительный корень.

\[x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-10}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5\]

Ответ: существует при \(x = 5\).

в) \(x^2-10x+31=55\)

\(x^2-10x+31-55=0\)

\[x^2-10x-24=0\]

\(a = 1\),  \(b = -10\),  \(c = 25\)

\(D = b^2 - 4ac=\)

\[=(-10)^2-4\cdot 1\cdot (-24)=\]

\(=100+96=196 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt{196}=14\)

\[x_1=\frac{10 + 14}{2\cdot1}=\frac{24}{2}=12\]

\[x_2=\frac{10 - 14}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\]

Ответ: существует при \(x = 12\) и \(x = -2\).

Пояснения:

Основные формулы:

\[ax^2+bx+c=0\]

\[D=b^2-4ac\]

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два действительных корня:

\[x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Если \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень:

\[x=-\frac{b}{2a}.\]

Если \(D < 0\) , то уравнение не имеет действительных корней.

Чтобы проверить, существует ли значение \(x\), при котором трёхчлен принимает заданное значение, приравниваем выражение к этому числу и переносим всё в одну сторону, получая квадратное уравнение.

а) \(\small \left(\dfrac{2ab}{a^2-b^2}+\dfrac{a-b}{2a+2b}\right)\cdot\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{b}{b-a}= \)

\(\small = \left(\dfrac{2ab}{(a-b)(a+b)}^{\color{blue}{\backslash{2}}}+\dfrac{a-b}{2(a+b)}^{\color{blue}{\backslash{a-b}}}\right)\times\)

\(\times\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{b}{b-a} =\)

\(\small=\left(\dfrac{4ab}{2(a-b)(a+b)}+\dfrac{(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}\right)\times\)

\(\times\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{b}{b-a} =\)

\(\small =\dfrac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{b}{b-a} =\)

\(\small= \dfrac{4ab+a^2-2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{b}{b-a}= \)

\(\small = \dfrac{a^2+2ab+b^2}{2(a-b)(a+b)}\cdot\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{b}{b-a} =\)

\(\small=\dfrac{(a+b)^{\cancel2}}{2(a-b)\cancel{(a+b)}}\cdot\dfrac{2a}{a+b}+\dfrac{b}{b-a}= \)

\(\small =\dfrac{\cancel{(a+b)}\cdot\cancel{2}a}{\cancel{2}(a-b)\cancel{(a+b)}}-\dfrac{b}{a-b} =\)

\(\small= \dfrac{a}{a-b}-\dfrac{b}{a-b}= \dfrac{a-b}{a-b}=1 \)

б) \(\small \dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}\times\)

\(\small \times\left(\dfrac{x}{(x-y)^2}-\dfrac{y}{x^2-y^2}\right) =\)

\(\small = \dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\times\)

\(\small \times\left(\dfrac{x}{(x-y)^2}^{\color{blue}{\backslash{x+y}}}-\dfrac{y}{(x-y)(x+y)}^{\color{blue}{\backslash{x-y}}}\right)= \)

\(\small =\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}\times\)

\(\small \times\dfrac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)} =\)

\(\small = \dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}\times\)

\(\small \times\dfrac{x^2+xy-xy+y^2}{(x-y)^2(x+y)} =\)

\(\small= \dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}\times\)

\(\times \dfrac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}= \)

\(=\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x}{x-y}= \)

\(= \dfrac{y-x}{x-y}=-1. \)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;

если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. При этом, при приведении дробей к общему знаменателю, если возможно, раскладываем на множители знаменатели складываемых или вычитаемых дробей. Затем, чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели складываемых или вычитаемых дробей.

3) Разность квадратов двух выражений:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]

4) Квадрат разности двух выражений:

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

5) Квадрат суммы двух выражений:

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

6) При умножении дробей можно сокращать одинаковые множители в числителе и знаменателе.

7) Также важно помнить:

\( b-a=-(a-b) \)

поэтому

\( \dfrac{b}{b-a}=-\dfrac{b}{a-b} \)

Пояснение к пункту а).

Сначала упрощаем выражение в скобках. Для этого раскладываем разность квадратов:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b) \]

и выносим общий множитель во втором знаменателе:

\[ 2a+2b=2(a+b) \]

После этого приводим две дроби в скобках к общему знаменателю:

\[ 2(a-b)(a+b) \]

Числитель после приведения становится таким:

\[ 4ab+(a-b)^2 \]

Далее раскрываем квадрат разности:

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

Получаем:

\[ 4ab+a^2-2ab+b^2=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2 \]

После этого дробь в скобках сильно упрощается, потому что сокращается один множитель \(a+b\).

Затем умножаем результат на дробь \(\dfrac{2a}{a+b}\), снова сокращаем одинаковые множители и получаем:

\[ \dfrac{a}{a-b} \]

Последняя дробь \(\dfrac{b}{b-a}\) заменяется на \(-\dfrac{b}{a-b}\), так как \(b-a=-(a-b)\).

Теперь знаменатели одинаковые, поэтому вычитаем числители:

\[ \dfrac{a}{a-b}-\dfrac{b}{a-b}=\dfrac{a-b}{a-b}=1 \]

Пояснение к пункту б).

Сначала упрощаем множитель

\[ \dfrac{x^3-xy^2}{x^2+y^2} \]

В числителе выносим общий множитель \(x\):

\[ x^3-xy^2=x(x^2-y^2) \]

Теперь раскладываем разность квадратов:

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y) \]

Получаем:

\[ \dfrac{x^3-xy^2}{x^2+y^2}=\dfrac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} \]

Далее упрощаем выражение в скобках:

\[ \dfrac{x}{(x-y)^2}-\dfrac{y}{x^2-y^2} \]

Снова раскладываем разность квадратов:

\[ x^2-y^2=(x-y)(x+y) \]

Теперь приводим дроби к общему знаменателю:

\[ (x-y)^2(x+y) \]

Числитель будет:

\[ x(x+y)-y(x-y) \]

Раскрываем скобки:

\[ x^2+xy-xy+y^2=x^2+y^2 \]

Значит, выражение в скобках равно:

\[ \dfrac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)} \]

Теперь умножаем две полученные дроби. Сокращаются множители \(x^2+y^2\), \(x+y\) и один множитель \(x-y\). Остаётся:

\[ \dfrac{x}{x-y} \]

Тогда всё выражение принимает вид:

\[ \dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x}{x-y}=\dfrac{y-x}{x-y} \]

Так как \(y-x=-(x-y)\), имеем:

\[ \dfrac{y-x}{x-y}=-1 \]