Упражнение 730 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(10x^2-10x+m=0\)

\(a = 10\),  \(b = -10\),  \(c = m\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=(-10)^2-4\cdot 10\cdot m=\)

\(=100-40m\)

Если \(D \ge 0\), то уравнение имеет хотя бы один корень.

\[100-40m\ge 0\]

\(-40m \ge -100\)   \(/ : (-40)\)

\(m \le \frac{100}{40}\)

\[m\le \frac{5}{2}\]

\(m \le 2,5\)

Ответ: при \(m \le 2,5\).

б) \(mx^2+4x-2=0\)

Если \(m=0\), то

\(4x-2=0\)

\(4x = 2\)

\(x = \frac24\)

\(x=0,5\)

Если \(m\ne 0\), то

\(mx^2+4x-2=0\)

\(a = m\),  \(b = 4\),  \(c = -2\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=4^2-4\cdot m\cdot (-2)=\)

\(=16+8m\)

Если \(D \ge 0\), то уравнение имеет хотя бы один корень.

\[16+8m\ge 0\]

\(8m\ge -16\)  \(/ : 8\)

\[m\ge -2\]

Ответ: при \( m\ge -2\).

в) \(3x^2+mx-5=0\)

\(a = 3\),  \(b = m\),  \(c = -5\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\[=m^2-4\cdot 3\cdot (-5)=\]

\[=m^2+60\]

Если \(D \ge 0\), то уравнение имеет хотя бы один корень.

\(m^2+60>0\) при любом \(m\).

Ответ: при любом \(m\).

г) \(2x^2-mx+2=0\)

\(a = 2\),  \(b = -m\),  \(c = 2\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\[=(-m)^2-4\cdot 2\cdot 2=\]

\[=m^2-16\]

Если \(D \ge 0\), то уравнение имеет хотя бы один корень.

\[m^2-16\ge 0\]

\((m - 4)(m + 4) \ge 0\)

\((m - 4)(m + 4) = 0\)

\(m - 4 = 0\)  или  \(m + 4 = 0\)

\(m = 4\)                 \(m = -4\)

Ответ: при \(m \in (-\infty ; -4] \cup [4; +\infty )\).

Пояснения:

Квадратное уравнение

\[ax^2+bx+c=0,\]

имеет хотя бы один корень в том случае, когда дискриминант \[D=b^2-4ac\] неотрицателен, то есть \(D \ge 0\).

В каждом случае находим дискриминант уравнения и решаем неравенство, учитывая то, что дискриминант должен быть неотрицателен.

а) \((2{,}5x + 3)(4x - 1) - 2{,}5x(4x + 2) < 3 \)

\( 10x^2 - 2{,}5x + 12x - 3 - 10x^2 - 5x < 3 \)

\( 4{,}5x - 3 < 3 \)

\( 4{,}5x < 6 \)

\( x < \frac{6}{4{,}5} \)

\( x < \frac{12}{9} \)

\( x < \frac{4}{3} \)

\( x < 1\frac{1}{3} \)

Ответ: \( x \in \left(-\infty;1\frac{1}{3}\right) \)

б) \( (1 - 4x)^2 - (8x - 1)(2x + 1) > 0 \)

\((1 - 8x + 16x^2) - (16x^2 + 8x - 2x - 1) > 0 \)

\( 1 - 8x + 16x^2 - 16x^2 - 6x + 1 > 0 \)

\( -14x + 2 > 0 \)

\( -14x > -2 \)

\( x < \frac{-2}{-14} \)

\( x < \frac{1}{7} \)

Ответ: \( x \in \left(-\infty;\frac{1}{7}\right) \)

Пояснения:

При решении неравенств сначала раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

При раскрытии скобок используем следующие приемы и формулы:

- разность квадратов двух выражений:

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\);

- квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

- умножение многочлена на многочлена:

\((a + b)(c-d) = ac - ad + bc - bd\);

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Пояснение к пункту а).

Сначала раскрываем скобки в произведении:

\( (2{,}5x + 3)(4x - 1)=\)

\(2{,}5x\cdot 4x+2{,}5x\cdot(-1)+\)

\(+3\cdot 4x+3\cdot(-1)=\)

\( =10x^2-2{,}5x+12x-3 \)

Теперь раскрываем вторые скобки:

\( 2{,}5x(4x+2)=10x^2+5x \)

Подставляем всё в исходное неравенство:

\( 10x^2-2{,}5x+12x-3-10x^2-5x<3 \)

Теперь приводим подобные члены. Слагаемые \(10x^2\) и \(-10x^2\) уничтожаются.

Для членов с \(x\) получаем:

\( -2{,}5x+12x-5x=4{,}5x \)

Поэтому остаётся:

\( 4{,}5x-3<3 \)

Прибавляем к обеим частям \(3\):

\[ 4{,}5x<6 \]

Делим обе части на положительное число \(4{,}5\), знак неравенства не меняется:

\( x<\frac{6}{4{,}5}=\frac{4}{3} \)

\( x<\frac{4}{3} \)

Пояснение к пункту б).

Сначала раскрываем квадрат разности:

\( (1-4x)^2=1-8x+16x^2 \)

Затем раскрываем произведение:

\( (8x-1)(2x+1)=\)

\(=8x\cdot 2x+8x\cdot 1-1\cdot 2x-1\cdot 1 =\)

\[ =16x^2+8x-2x-1=16x^2+6x-1 \]

Теперь подставляем в неравенство:

\[ 1-8x+16x^2-(16x^2+6x-1)>0 \]

Перед вторыми скобками стоит знак «минус», поэтому знаки у всех слагаемых в скобках меняются:

\[ 1-8x+16x^2-16x^2-6x+1>0 \]

Приводим подобные члены:

\( 16x^2-16x^2=0 \)

\( -8x-6x=-14x \)

\( 1+1=2 \)

Получаем:

\( -14x+2>0 \)

Вычитаем \(2\) из обеих частей:

\( -14x>-2 \)

Теперь делим на отрицательное число \(-14\), поэтому знак неравенства меняется:

\( x<\frac{1}{7} \)