Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№898 учебника 2023-2026 (стр. 214):
Докажите, что не имеет решений уравнение:
а) \(4x^2+4xy+y^2+1=0;\)
б) \(x^2-6xy+9y^2+2=0;\)
в) \(x^2+y^2+4x+5=0;\)
г) \(x^2+y^2-2x-4y+6=0.\)
№898 учебника 2014-2022 (стр. 223):
Для шуточной новогодней лотереи, в которой будет разыграно 30 призов, отпечатали 150 билетов. Иван за участие в конкурсе получил один билет. Какова вероятность того, что он при этом выиграет приз? Какова вероятность того, что он приз не выиграет?
№898 учебника 2023-2026 (стр. 214):
Вспомните:
№898 учебника 2014-2022 (стр. 223):
Вспомните:
№898 учебника 2023-2026 (стр. 214):
а) \( 4x^2+4xy+y^2+1=0 \)
\[ (2x+y)^2+1=0 \]
\((2x+y)^2=-1 \) - не имеет решений, так как \( (2x+y)^2\geq 0 \) при любых \(x\) и \(y\).
б) \( x^2-6xy+9y^2+2=0 \)
\[ (x-3y)^2+2=0 \]
\( (x-3y)^2=-2 \) - не имеет решений, так как \( (x-3y)^2\geq 0 \) при любых \(x\) и \(y\)
в) \( x^2+y^2+4x+5=0 \)
\[ (x^2+4x+4)+y^2+1=0 \]
\[ (x+2)^2+y^2+1=0 \]
\( (x+2)^2+y^2=-1 \) - не имеет решений, так как \( (x+2)^2\geq 0\) при любом \(x\) и \( y^2\geq 0 \) при любом \(y\), значит и \( (x+2)^2+y^2\geq 0 \) при любых \(x\) и \(y\).
г) \( x^2+y^2-2x-4y+6=0 \)
\[ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)+1=0 \]
\[ (x-1)^2+(y-2)^2+1=0 \]
\( (x-1)^2+(y-2)^2=-1 \) - не имеет решений, так как \( (x-1)^2\geq 0\) при любом \(x\) и \((y-2)^2\geq 0 \) при любом \(y\), значит и \( (x-1)^2+(y-2)^2\geq 0\) при любых \(x\)и \(y\).
Пояснения:
Во всех пунктах используется один и тот же приём: нужно представить левую часть уравнения как сумму квадратов и положительного числа, затем число перенести в правую часть с противоположным знаком.
Основные формулы:
\[ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2, \]
\[ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2. \]
Также используется важное свойство квадрата любого числа:
\[ t^2\geq 0. \]
Значит, сумма квадратов не может быть отрицательной.
Разберём каждый пункт.
В пункте а) первые три слагаемых образуют полный квадрат:
\[ 4x^2+4xy+y^2=(2x+y)^2. \]
Тогда всё уравнение принимает вид
\( (2x+y)^2+1=0, \) откуда
\( (2x+y)^2=-1\)
Но квадрат неотрицателен, значит уравнение не имеет решений.
В пункте б) аналогично:
\[ x^2-6xy+9y^2=(x-3y)^2. \]
Поэтому уравнение превращается в
\[ (x-3y)^2=-2. \]
Левая часть всегда неотрицательна, значит решений нет.
В пункте в) нужно выделить полный квадрат по \(x\):
\[ x^2+4x=(x+2)^2-4. \]
Тогда
\( x^2+y^2+4x+5=\)
\(=(x+2)^2-4+y^2+5=\)
\(=(x+2)^2+y^2+1. \)
Получаем уравнение
\[ (x+2)^2+y^2=-1. \]
Каждый квадрат неотрицателен, значит, левая часть всегда положительна, поэтому решений нет.
В пункте г) выделяем полные квадраты и по \(x\), и по \(y\):
\[ x^2-2x=(x-1)^2-1, \]
\[ y^2-4y=(y-2)^2-4. \]
Тогда
\( x^2+y^2-2x-4y+6=\)
\(=(x-1)^2-1+(y-2)^2-4+6=\)
\(=(x-1)^2+(y-2)^2+1. \)
Получаем:
\[ (x-1)^2+(y-2)^2=-1. \]
Каждый квадрат неотрицателен, значит, левая часть всегда положительна, поэтому решений нет.
№898 учебника 2014-2022 (стр. 223):
Пусть \(A\) - событие, при котором Иван выиграет.
\(n = 150\), \(m = 30\)
\( P(A) = \frac mn = \frac{30}{150} = \frac{1}{5} = 0,2 \)
\(P(A) + P(\overline{A}) = 1\)
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
\( P(\overline{A}) = 1 - 0,2 = 0,8 \)
Ответ: вероятность того, что Иван выиграет приз равна \(0,2\); вероятность того, что Иван приз не выиграет равна \(0,8\).
Пояснения:
Используем классическую формулу вероятности:
\[ P = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{все возможные исходы}} \]
Вероятность выигрыша:
Всего билетов: \( 150 \)
Выигрышных билетов: \( 30 \)
Пусть \(A\) - событие, при котором Иван выиграет. Вероятность того, что Иван вытянет выигрышный билет:
\[ P(A) = \frac{30}{150} = \frac{1}{5} \]
Вероятность проигрыша:
Это противоположное событие (не выиграл) - событие \(\overline{A}\). Вероятности противоположных событий в сумме дают единицу, то есть \(P(A) + P(\overline{A}) = 1\), тогда
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,2 = 0,8 \).
Вернуться к содержанию учебника