Упражнение 901 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 224

\(n = C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8!}{3!\cdot5!} =\)

\(=\frac{8\cdot7\cdot\cancel6\cdot\cancel{5!}}{\cancel3\cdot\cancel2\cdot1\cdot\cancel{5!}} =8 \cdot 7= 56 \)

а) Пусть \(A\) - событие, при котором все три шарика красные.

\( m = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{4!}{3!\cdot1!} =\)

\(=\frac{4\cdot\cancel{3!}}{\cancel{3!}}=4 \)

\( P(А) = \frac mn = \frac{4}{56} = \frac{1}{14} \)

б) Пусть \(B\) - событие, при котором 2 шарика красного цвета и 1 жёлтого.

\( m = C_4^2 \cdot C_4^1 =\)

\(=\frac{4!}{2!(4-2)!}\cdot\frac{4!}{1!(4-1)!}= \)

\(=\frac{4!}{2!\cdot2!}\cdot\frac{4!}{1!\cdot3!}=\)

\(=\frac{\cancel4  ^{\color{blue}{2}} \cdot3\cdot\cancel{2!}}{\cancel2\cdot1\cdot\cancel{2!}}\cdot\frac{4\cdot\cancel{3!}}{\cancel{3!}}= \)

\(=2\cdot3 \cdot 4 = 24 \)

\( P(B) =\frac mn = \frac{24}{56} = \frac{3}{7} \)

в) Пусть \(C\) - событие, при котором все шарики одного цвета, \(A\) - событие, при котором все шары красные, \(D\) - событие, при котором все шары желтые.

\( C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{4!}{3!\cdot1!} =\)

\(=\frac{4\cdot\cancel{3!}}{\cancel{3!}}=4 \)

\(m = 4 + 4 = 8\)

\(P(C)= \frac{8}{56} = \frac{1}{7}\)

Ответ: \(\frac{1}{7}\).

Пояснения:

Используем классическое определение вероятности:

\[ P = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{все возможные исходы}} \]

Порядок шаров не важен — важно только, какой шар вытащили, поэтому используется формула сочетаний:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Общее число способов выбрать 3 шарика из 8:

\[ C_8^3 = 56 \]

а) Все 3 красные:

Выбираем 3 из 4 красных:

\[ C_4^3 = 4 \]

Вероятность:

\[P = \frac{4}{56} = \frac{1}{14} \]

б) 2 красных и 1 жёлтый:

\[ C_4^2 = 6 \]

\[ C_4^1 = 4 \]

По правилу умножения:

\[ 6 \cdot 4 = 24 \]

Вероятность:

\[ P = \frac{24}{56} = \frac{3}{7} \]

в) Все одного цвета — либо все красные, либо все жёлтые:

Красные:

\[ C_4^3 = 4 \]

Жёлтые:

\[ C_4^3 = 4 \]

Всего:

\[ 4 + 4 = 8 \]

Вероятность:

\[ P = \frac{8}{56} = \frac{1}{7} \]