Упражнение 899 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№899 учебника 2023-2026 (стр. 214):
Найдите значения параметра \(a\), при которых система уравнений
\[ \begin{cases} x^2+y^2=9,\\ y-x=a \end{cases} \]
имеет одно решение; имеет два решения; не имеет решений. При каком наименьшем по модулю значении параметра \(a\) система уравнений имеет одно решение?
№899 учебника 2014-2022 (стр. 223):
На одинаковых листочках бумаги написаны цифры от 1 до 9, затем листочки перемешали и сложили в непрозрачный пакет. Наугад вытаскивают один листочек. Какова вероятность того, что на нём будет:
а) цифра 1;
б) цифра 9;
в) чётная цифра;
г) нечётная цифра?
Подсказка
№899 учебника 2023-2026 (стр. 214):
Вспомните:
- Системы уравнений с двумя переменными.
- Уравнения с двумя переменными.
- Метод подстановки при решении систем уравнений.
- Квадрат суммы двух выражений.
- Подобные слагаемые.
- Полное квадратное уравнение.
- Степень с натуральным показателем.
- Свойства степени с натуральным показателем.
- Арифметический квадратный корень.
- Свойства арифметического квадратного корня.
- Неравенства второй степени.
- Свойства неравенств.
- Числовые промежутки.
- Деление и дроби.
- Деление рациональных чисел.
- Модуль числа.
№899 учебника 2014-2022 (стр. 223):
Ответ
№899 учебника 2023-2026 (стр. 214):
\[ \begin{cases} x^2+y^2=9,\\ y-x=a \end{cases} \]
\[ \begin{cases} x^2+(a+x)^2=9,\\ y=a+x \end{cases} \]
\(x^2+(a+x)^2=9\)
\(x^2 + a^2 + 2ax + x^2 - 9 = 0\)
\(2x^2 + 2ax + a^2 - 9 = 0\)
\(D = (2a)^2 - 4\cdot2\cdot(a^2 - 9) =\)
\(=4a^2 - 8a^2 + 72 = \)
\(=-4a^2 + 72\)
Уравнение имеет один корень, если \(D = 0\), два корня, если \(D > 0\), не имеет корней, если \(D < 0\).
1) \(D = 0\)
\(-4a^2 + 72 = 0\)
\(-4a^2 =-72\)
\(a^2 = \frac{-72}{-4}\)
\(a^2 = 18\)
\(a = \pm\sqrt{18}\)
\(a = \pm\sqrt{9\cdot2}\)
\(a = \pm3\sqrt{2}\)
2) \(-4a^2 + 72 > 0\) \(/ : (-4)\)
\(a^2 - 18 < 0\)
\(a^2 - 18 = 0\)
\(a^2 = 18\)
\(a = \pm3\sqrt{2}\)
\(a \in (-3\sqrt{2}; 3\sqrt{2})\)
3) \(-4a^2 + 72 < 0\)
\(a \in (-\infty; -3\sqrt{2}) \cup (3\sqrt{2}; \infty)\).
Наименьшее по модулю значение параметра \(a\), при котором система имеет одно решение:
\[ |a|=3\sqrt{2}. \]
Пояснения:
Чтобы определить количество решений системы, используем при решении метод подстановки: из второго уравнения выражаем переменную \(y\) и подставляем во второе уравнение, получая квадратное уравнение, количество корней которого зависит от дискриминанта:
- если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень,
- если \(D > 0\), то уравнение имеет два корня,
- если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.
№899 учебника 2014-2022 (стр. 223):
а) Пусть \(A\) - событие, при котором вытащили цифру \(1\).
\(n = 9\), \(m = 1\)
\( P(A) = \frac mn = \frac{1}{9} \)
Ответ: \(\frac{1}{9} \).
б) Пусть \(B\) - событие, при котором вытащили цифру \(9\).
\(n = 9\), \(m = 1\)
\( P(B) = \frac mn = \frac{1}{9} \)
Ответ: \(\frac{1}{9} \).
в) Пусть \(C\) - событие, при котором вытащили четную цифру.
Четные цифры: \( 2,4,6,8 \)
\(n = 9\), \(m = 4\)
\( P = \frac mn= \frac{4}{9} \)
Ответ: \(\frac{4}{9} \).
г) Пусть \(D\) - событие, при котором вытащили нечетную цифру.
Четные цифры: \( 1,3,5,7,9 \)
\(n = 9\), \(m = 5\)
\( P = \frac mn= \frac{5}{9} \)
Ответ: \(\frac{5}{9} \).
Пояснения:
Все листочки равновероятны, так как их перемешали.
Всего возможных исходов: \( 9 \).
Используем формулу вероятности:
\[ P = \frac{\text{благоприятные исходы}}{\text{все возможные исходы}} \]
а) Цифра 1 встречается один раз:
\[ P = \frac{1}{9} \]
б) Цифра 9 встречается один раз:
\[ P = \frac{1}{9} \]
в) Чётные цифры:
\(2, 4, 6, 8 \) - 4 благоприятных исхода.
\[ P = \frac{4}{9} \]
г) Нечётные цифры:
\( 1, 3, 5, 7, 9 \) - 5 благоприятных исходов.
\[ P = \frac{5}{9} \]
Таким образом, вероятность зависит только от количества подходящих цифр.
Вернуться к содержанию учебника