Вернуться к содержанию учебника
Контрольные вопросы и задания
1) Дайте определение функции. Что называется областью определения и областью значений функции?
2) Что называется графиком функции? Что представляет собой график линейной функции? прямой пропорциональности? обратной пропорциональности?
3) Используя рисунок 19, поясните, как с помощью графика функции найти нули функции и промежутки, в которых функция сохраняет знак (принимает положительные значения; отрицательные значения).
4) Дайте определение функции, возрастающей в промежутке; убывающей в промежутке. Назовите промежутки возрастания и убывания функции, график которой изображён на рисунке 19.
5) Приведите примеры возрастающей и убывающей линейной функции. Сформулируйте и докажите соответствующее свойство линейной функции.
6) Как изменяется на каждом из промежутков \((- \infty;0)\) и \((0;+\infty)\) функция \(y=\dfrac{k}{x}\)? Рассмотрите случаи \(k>0\) и \(k<0\).
Вспомните:
1. Определение функции.
Функцией называют такую зависимость переменной \(y\) от переменной \(x\), при которой каждому значению переменной \(x\) соответствует единственное значение переменной \(y\).
Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции.
2. График функции.
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.
— График линейной функции \(y=kx+b\) — это прямая линия.
— График прямой пропорциональности \(y=kx\) — прямая, проходящая через начало координат.
— График обратной пропорциональности \(y=\dfrac{k}{x}\) — гипербола, состоящая из двух ветвей.
3. Чтобы найти нули функции, надо найти точки пересечения графика с осью \(Ox\), тогда нулями функции будут являться значения абсцисс данных точек, на рисунке 19, нули функции равны:\(-5; -3; 1; 4\).
Чтобы определить, промежутки, в которых функция принимает положительные значения, смотрим на каких промежутках график находится выше оси \(Ox\).
Чтобы определить, промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения, смотрим на каких промежутках график находится ниже оси \(Ox\).
Для графика, данного на рисунке:
\(f(x)>0\) при \(x\in [-7;-5)\cup(-3; 1)\cup(4; 5]\).
\(f(x)<0\) при \(x\in (-5;-3)\cup(1; 4)\).
4. Возрастающая и убывающая функции.
Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Функция убывает при \(x\in[-7,\,-4]\cup[\,{-}1,\;2\,]\).
Функция возрастает при \(x\in[-4,\,-1]\cup[\,2,\;5\,]\).
5. \(y=2x-1\) - возрастающая линейная функция.
\(y=-3x+5\) - убывающая линейная функция.
Свойство:
При \(k>0\) функция \(y=kx+b\) является возрастающей, а при \(k<0\) - убывающей.
Доказательство:
Пусть \(x_1\) и \(x_2\) - произвольные значения аргумента, причем \(x_2 > x_1\). Обозначим через \(y_1\) и \(y_2\) соответствующие им значения функции:
\(y_1 = kx_1 + b\) и \(y_2 = kx_2 + b\).
Рассмотрим разность \(y_2 - y_1\):
\(y_2 - y_1 = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) =\)
\(=kx_2 + \cancel b - kx_1 - \cancel b =\)
\(=kx_2 - kx_1 =k(x_2 - x_1)\).
Множитель \(x_2 - x_1\) положителен, так как \(x_2> x_1\). Поэтому знак произведения определяется знаком коэффициента \(k\).
Если \(k > 0\), то \(k(x_2 - x_1) > 0\) и \(y_2 > y_1\). Значит, при \(k > 0\) функция \(y=kx+b\) является возрастающей.
Если \(k < 0\), то \(k(x_2 - x_1) <0\) и \(y_2 < y_1\). Значит, при \(k < 0\) функция \(y=kx+b\) является убывающей.
Что и требовалось доказать.
6. При \(k>0\) функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\).
При \(k<0\) функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\).
Вернуться к содержанию учебника