Упражнение 679 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 16^5 + 16^4 = 16^4\,(16 + 1) = \)

\(=16^4 \cdot 17, \) значит, выражение делится на 17.

б) \( 38^9 - 38^8 = 38^8\,(38 - 1) =\)

\(=38^8 \cdot 37, \) значит, выражение делится на 37.

в) \(36^5 - 6^9 = (6^2)^5 - 6^9 =\)

\(=6^{10} - 6^9 = 6^9\,(6 - 1) =\)

\(=6^9 \cdot 5= 6^8 \cdot 30,\) значит, выражение делится на 30.

г) \( 5^{18} - 25^8 = 5^{18} - (5^2)^8 =\)

\(=5^{18} - 5^{16} = 5^{16}\,(5^2 - 1) =\)

\(=5^{16}\cdot24=5^{15}\cdot120, \) значит, выражение делится на 120.

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Вынос общего множителя: \[A^n \pm A^m = A^{\min(n,m)}\bigl(A^{|n-m|} \pm 1\bigr).\]

2) Критерий делимости произведения на число: если в разложении произведения на простые множители присутствуют все простые множители этого числа с не меньшими показателями, то число делит произведение.

В подзадачах а) и б) мы просто вынесли общий множитель \(16^4\) и \(38^8\) соответственно и увидели множитель 17 или 37.

В подзадаче в) заметили, что \(36^5=(6^2)^5=6^{10}\), затем вынесли \(6^9\) и получили множитель 5, после чего проверили, что \(6^9\cdot5\) содержит в себе \(2\cdot3\cdot5=30\).

В подзадаче г) переписали \(25^8=(5^2)^8=5^{16}\), вынесли \(5^{16}\), получили множитель 24, а затем проверили, что \(5^{16}\cdot24\) содержит в себе \(2^3\cdot3\cdot5=120\).

Пояснения:

Чтобы представить выражение в виде многочлена, нужно выполнить умножение многочлена на многочлен.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, можно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и полученные произведения сложить (мы говорим об алгебраической сумме - выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел). В решении выделены одинаковым цветом подобные слагаемые, их мы складываем (вычитаем), тем самым упрощая выражение.