Упражнение 767 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 159

а) \((x^4 + 7x^2y^2 - 5y^4)(-0,2xy^2)=\)

\(=x^4\cdot(-0,2xy^2) + 7x^2y^2\cdot(-0,2xy^2) - 5y^4\cdot(-0,2xy^2)=\)

\(=-0,2x^5y^2 - 1,4x^3y^4 + xy^6\).

б) \(b^7 - \tfrac12b^5c + \tfrac23b^3c^3 - \tfrac25c^5)(-30bc^3)=\)

\(=b^7\cdot(-30bc^3) - \tfrac12b^5c\cdot(-30bc^3) + \tfrac23b^3c^3\cdot(-30bc^3) - \tfrac25c^5\cdot(-30bc^3)=\)

\(=-30b^8c^3 + \tfrac{1}{\cancel2}\cdot\cancel{30}^{\color{blue}{\backslash15}} b^6c^4 - \tfrac{2}{\cancel3}\cdot\cancel{30}^{\color{blue}{\backslash10}} b^4c^6 + \tfrac{2}{\cancel5}\cdot\cancel{30}^{\color{blue}{\backslash6}}bc^8=\)

\(=-30b^8c^3 + 15b^6c^4 - 20b^4c^6 + 12bc^8\).

в) \((\tfrac13a^5b - ab + \tfrac17)(-21a^2b^2)=\)

\(=\tfrac13a^5b\cdot(-21a^2b^2) - ab\cdot(-21a^2b^2) + \tfrac17\cdot(-21a^2b^2)=\)

\(=-\tfrac{1}{\cancel3}\cdot\cancel{21}^{\color{blue}{\backslash7}}a^7b^3 + 21a^3b^3 - \tfrac{1}{\cancel7}\cdot\cancel{21}^{\color{blue}{\backslash3}}a^2b^2=\)

\(=-7a^7b^3 + 21a^3b^3 - 3a^2b^2\).

г) \((0,5x^7y^{12} - 6xy - 1)(-\tfrac16xy)=\)

\(=(0,5x^7y^{12}\cdot(-\tfrac16xy) - 6xy\cdot(-\tfrac16xy) - 1\cdot(-\tfrac16xy)=\)

\(=-\tfrac12\cdot\tfrac16x^8y^{13} + \cancel6\cdot\tfrac{1}{\cancel6}x^2y^2 + \tfrac16xy=\)

\(=-\tfrac1{12}x^8y^{13} + x^2y^2 + \tfrac16xy\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

Умножение многочлена на одночлен: каждый член многочлена умножается на одночлен, при этом коэффициенты перемножаются, а степени одноимённых букв складываются:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

Комментарии к шагам:

1) Раскрыли скобки, умножив каждый член первого множителя на второй.

2) Перемножили числовые коэффициенты отдельно, переменные — по степеням.

3) Записали итоговый многочлен.

а) \( a^{20}-a^{10}+a^5 = \)

\(=a^5\bigl(a^{15}-a^5+1\bigr) \).

б) \( b^{60}+b^{40}-b^{20} = \)

\(=b^{20}\bigl(b^{40}+b^{20}-1\bigr) \).

в) \( a^{10}-a^8-a^6 = \)

\(=a^6\bigl(a^4 - a^2 -1\bigr) \)

г) \( b^{40}+b^{20}+b^{10} =\)

\(=b^{10}\bigl(b^{30}+b^{10}+1\bigr) \).

Пояснения:

Правило вынесения общего множителя за скобки: выносим переменную в меньшей степени, учитывая свойство степеней:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

Для каждого выражения выделили наименьшую степень:

— в) и а) наименьшая степень \(a^5\) и \(a^6\) соответственно;

— в) и г) наименьшая степень \(b^{20}\) и \(b^{10}\) соответственно.

Таким образом каждое выражение приведено к произведению одночлена и многочлена, что и является разложением на множители.