Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№771 учебника 2023-2025 (стр. 160):
Два сосуда были наполнены растворами соли, причём во втором сосуде содержалось на 2 кг больше раствора, чем в первом. Концентрация соли в первом растворе составляла 10 %, а во втором – 30 %. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация соли в котором оказалась равной 25 %. Сколько раствора было в первом сосуде первоначально?
№771 учебника 2013-2022 (стр. 158):
Решите уравнение:
а) \(1{,}2x^2 + x = 0\);
б) \(1{,}6x + x^2 = 0\);
в) \(0{,}5x^2 - x = 0\);
г) \(5x^2 = x\);
д) \(1{,}6x^2 = 3x\);
е) \(x = x^2\).
№771 учебника 2023-2025 (стр. 160):
Вспомните:
№771 учебника 2013-2022 (стр. 158):
Вспомните:
№771 учебника 2023-2025 (стр. 160):
10% = 0,1; 30% = 0,3; 25% = 0,25.
Пусть \(x\) (кг) масса раствора в первом сосуде.
Тогда во втором сосуде было \(x + 2\) кг раствора.
В третьем сосуде было
\(x + (x + 2) = 2x + 2\) кг раствора.
Масса соли в первом сосуде: \(0{,}1x\).
Масса соли во втором сосуде:
\(0{,}3(x + 2)\).
Общая масса соли: \(0,25(2x + 2)\).
Составим уравнение:
\(0{,}1x + 0{,}3(x + 2) = 0,25(2x + 2)\)
\( 0{,}1x + 0{,}3x + 0{,}6 = 0{,}5x + 0{,}5\)
\( 0{,}1x + 0{,}3x - 0{,}5x = 0{,}5 - 0{,}6\)
\( -0{,}1x = -0{,}1\)
\(x = 1 \)
Ответ: в первом сосуде было 1 кг раствора.
Пояснения:
Использованные правила и приёмы:
1. Обозначение переменной для неизвестного количества раствора.
2. Формула для массы соли: концентрация (в долях) умножается на объём раствора.
3. Сведение к общему объёму при смешивании растворов.
4. Запись уравнения.
5. Раскрытие скобок:
\(a(b+c) = ab + ac\),
\(a(bиc) = ab - ac\).
6. Перенос подобных членов из одной части уравнения в другую со сменой знака.
\(A + C= B + D\), то
\(A - D = B - C\).
7. Приведение подобных членов
\(ka + la = (k + l)a\).
8. Решение линейного уравнения, учитывая то, что из линейного уравнения \(ax = b\) следует \(x = \tfrac{b}{a}\) при \(a\neq0\).
Комментарий к решению:
– Мы ввели \(x\) для первого сосуда и выразили через него все остальные величины.
– Рассчитали массы солей в каждом растворе отдельно и затем сложили.
– Составили уравнение, упростили его и решили полученное линейное уравнение и получили \(x=1\).
№771 учебника 2013-2022 (стр. 158):
а) \( 1{,}2x^2 + x = 0 \)
\(x(1{,}2x + 1) = 0 \)
\(x = 0 \;\text{или}\; 1{,}2x + 1 = 0\)
\(x = -\frac{1}{1{,}2} \)
\(x = -\frac{\cancel{10}^5}{\cancel{12}^6} \)
\(x = -\frac{5}{6} \)
Ответ: \(x = 0 \;\text{или}\; x = -\frac{5}{6}. \)
б) \( 1{,}6x + x^2 = 0 \)
\(x(x + 1{,}6) = 0\)
\(x = 0 \;\text{или}\; x + 1{,}6 = 0 \)
\(x = -1{,}6. \)
Ответ: \(x = 0 \;\text{или}\; x = -1{,}6 \)
в) \( 0{,}5x^2 - x = 0 \)
\(x(0{,}5x - 1) = 0\)
\(x = 0 \;\text{или}\; 0{,}5x - 1 = 0 \)
\(0{,}5x = 1 \)
\(x = \frac{1}{0,5} \)
\(x = \frac{10}{5} \)
\( x = 2. \)
Ответ: \(x = 0 \;\text{или}\;x =2 \)
г) \( 5x^2 = x \)
\(5x^2 - x = 0 \)
\(x(5x - 1) = 0 \)
\(x = 0 \;\text{или}\; 5x - 1 = 0\)
\(5x - 1 = 0\)
\(x = \frac{1}{5}. \)
Ответ: \(x = 0 \;\text{или}\; x = \frac{1}{5}.\)
д) \( 1{,}6x^2 = 3x\)
\(1{,}6x^2 - 3x = 0 \)
\(x(1{,}6x - 3) = 0 \)
\(x = 0 \;\text{или}\; 1{,}6x - 3 = 0 \)
\(x = \frac{3}{1{,}6} \)
\(x = \frac{30}{16} \)
\(x = \frac{\cancel{30}^{15}}{\cancel{16}^8} \)
\(x = \frac{15}{8} \)
\(x = 1\frac{7}{8} \)
Ответ: \(x = 0 \;\text{или}\; x=1\frac{7}{8}. \)
е) \( x = x^2 \)
\(x^2 - x = 0 \)
\(x(x - 1) = 0 \)
\(x = 0 \;\text{или}\; x - 1 = 0 \)
\(x = 1. \)
Ответ: \(x = 0 \;\text{или}\; x = 1. \)
Пояснения:
1. Правило нулевого произведения: если \(mn = 0\), то \(m = 0\) или \(n= 0\). Это позволяет сразу после приведения уравнения к форме «произведение = 0» записать корни через «или».
2. Перенос: все члены переносятся в одну часть уравнения.
3. Вынесение общего множителя: многочлен разбивается на произведение \(x\) и линейного множителя, что и даёт решения \(x = 0\) или \(x = \frac{a}{b} \).
Каждое уравнение решено одинаково: привели к «многочлен = 0», вынесли \(x\), применили правило нулевого произведения и решили получившееся линейное уравнение.
Вернуться к содержанию учебника