Упражнение 812 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( (x^3 + 4x^2 - 17x + 41)(x + a) =\)

\(=x^4 + ax^3+ 4x^3 + 4ax^2 -17x^2 -17ax + 41x + 41a= \)

\( = x^4 + (a + 4)x^3 + (4a - 17)x^2 + (41 - 17a)x + 41a. \)

\( a + 4 = 0 \)

\(a = -4. \)

Ответ: при \(a = -4. \)

Пояснения:

1. Тождественное равенство многочленов означает совпадение всех соответствующих коэффициентов при одинаковых степенях \(x\).

2. Раскрытие скобок выполняется по распределительному свойству умножения: \((a+b)c = ac + bc\).

3. Сборка подобных членов заключается в суммировании коэффициентов при одинаковой степени переменной.

В данном случае для устранения \(x^3\) необходимо, чтобы сумма коэффициентов \(a\) (из \(ax^3\)) и \(4\) (из \(4x^3\)) обратилась в ноль, что и даёт \(a = -4\).

а) \((a^2 - 3a)^2 =\)

\(=(a^2)^2 - 2\cdot a^2 \cdot 3a + (3a)^2=\)

= \(a^4 - 6a^3 + 9a^2.\)

б) \(\bigl(\tfrac12x^3 + 6x\bigr)^2 =\)

\(=\bigl(\tfrac12x^3\bigr)^2 + 2\cdot \tfrac12x^3 \cdot 6x + (6x)^2=\)

= \(\tfrac14x^6 + 6x^4 + 36x^2.\)

в) \(\bigl(c^2 - 0{,}7c^3\bigr)^2 = \)

\(=(c^2)^2 - 2\cdot c^2 \cdot 0{,}7c^3 + (0{,}7c^3)^2=\)

= \(c^4 - 1{,}4c^5 + 0{,}49c^6.\)

г) \(\bigl(4y^3 - 0{,}5y^2\bigr)^2 =\)

\(=(4y^3)^2 - 2\cdot 4y^3 \cdot 0{,}5y^2 + (0{,}5y^2)^2=\)

= \(16y^6 - 4y^5 + 0{,}25y^4.\)

д) \(\bigl(1\tfrac12a^5 + 8a^2\bigr)^2 =\)

\(=\bigl(\tfrac32a^5\bigr)^2 + 2\cdot \tfrac32a^5 \cdot 8a^2 + (8a^2)^2=\)

= \(\tfrac94a^{10} + 24a^7 + 64a^4.\)

е) \(\bigl(0{,}6b - 60b^2\bigr)^2 =\)

\(=(0{,}6b)^2 - 2\cdot 0{,}6b \cdot 60b^2 + (60b^2)^2=\)

= \(0{,}36b^2 - 72b^3 + 3600b^4.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При выполнении преобразований, использовали свойства степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)

\((a^m)^n = a^{mn}.\)