Упражнение 815 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 168

а) \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\).

б) \((p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2\).

в) \((b+3)^2 = b^2 + 2\cdot b\cdot3 + 3^2 =\)

\(=b^2 + 6b + 9\).

г) \((10-c)^2 = 10^2 - 2\cdot10\cdot c + c^2 =\)

\(=100 - 20c + c^2\).

д) \((y-9)^2 = y^2 - 2\cdot y\cdot9 + 9^2 =\)

\(=y^2 - 18y + 81\).

е) \((9-y)^2 = 9^2 - 2\cdot9\cdot y + y^2 =\)

\(=81 - 18y + y^2\).

ж) \((a+12)^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot12 + 12^2 =\)

\(=a^2 + 24a + 144\).

з) \((15-x)^2 = 15^2 - 2\cdot15\cdot x + x^2 =\)

\(=225 - 30x + x^2\).

и) \((b-0{,}5)^2 = b^2 - 2\cdot b\cdot0{,}5 + 0{,}5^2 =\)

\(=b^2 - b + 0{,}25\).

к) \((0{,}3-m)^2 = 0{,}3^2 - 2\cdot0{,}3\cdot m + m^2 =\)

\(=0{,}09 - 0{,}6m + m^2\).

Пояснения:

Формула квадрата суммы:

\[(u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2.\]

Формула квадрата разности:

\[(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2.\]

Во всех пунктах применили одну из этих формул, подставили \(u\) и \(v\) и вычислили квадрат каждого слагаемого и двойное произведение.

а) \((12a - 1)^2 - 1 = \)

\(=144a^2 - 24a + \cancel1 - \cancel1=\)

\(=144a^2 - 24a\).

б) \((2a + 6b)^2 - 24ab =\)

\(=4a^2 + \cancel{24ab} + 36b^2 - \cancel{24ab}=\)

\(=4a^2 + 36b^2\).

в) \(121 - (11 - 9x)^2 = \)

\(=121 - (121 - 198x + 81x^2)=\)

\(=\cancel{121} - \cancel{121} + 198x - 81x^2\)

\(=-81x^2 + 198x\).

г) \(a^2b^2 - (ab - 7)^2 = \)

\(=a^2b^2 - (a^2b^2 - 14ab + 49)=\)

\(=\cancel{a^2b^2} - \cancel{a^2b^2} + 14ab - 49=\)

\(=14ab - 49\)

д) \(b^2 + 49 - (b - 7)^2 =\)

\(=b^2 + 49 - (b^2 - 14b + 49)=\)

\(=\cancel{b^2} + \cancel{49} - \cancel{b^2} +14b - \cancel{49}=14b\).

е) \(a^4 - 81 - (a^2 + 9)^2 = \)

\(=a^4 - 81 - (a^4 + 18a^2 + 81)=\)

\(= \cancel{a^4} - \cancel{a^4} - 18a^2 - 81 - 81=\)

\(=-18a^2 - 162\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

5) Сокращение противоположных членов, так как их сумма равна нулю.

Пункт а): раскрыли квадрат разности \((12a - 1)^2\), затем из полученного многочлена вычли 1, сократив единичные члены.

Пункт б): раскрыли квадрат суммы \((2a + 6b)^2\), после чего вычли \(24ab\), сократив средний член.

Пункт в): раскрыли квадрат разности \((11 - 9x)^2\), затем выполнил вычитание из 121, сократив \(121\).

Пункт г): раскрыли \((ab - 7)^2\) и вычли из \(a^2b^2\), после чего сократили \(a^2b^2\).

Пункт д): раскрыли \((b - 7)^2\) и вычли из \(b^2 + 49\), сократив \(b^2\) и 49.

Пункт е): раскрыли \((a^2 + 9)^2\), вычли из \(a^4 - 81\), сократив \(a^4\) и объединив числа \(-81 - 81 = -162\).