Упражнение 818 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 168

а) \( n^2 + (n + 2)^2 + (n + 9)^2 \;=\; (n - 1)^2 + (n + 5)^2 + (n + 7)^2 + 10 \)

При \(n = 3\):

\(3^2 + (3 + 2)^2 + (3 + 9)^2 = 9 + 5^2 + 12^2 = 9 + 25 + 144 = 178\). 

\((3 - 1)^2 + (3 + 5)^2 + (3 + 7)^2 + 10 = 2^2 + 8^2 + 10^2 + 10 = 4 + 64 + 100 + 10 = 178\).

\(178 = 178\) - верно.

б) 1)  \( n^2 + (n + 2)^2 + (n + 9)^2 =\)

\(= n^2 + (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 18n + 81) =\)

\(= n^2 + n^2 + 4n + 4 + n^2 + 18n + 81 =\)

\(=3n^2 + 22n + 85. \)

2) \((n - 1)^2 + (n + 5)^2 + (n + 7)^2 + 10 =\)

\( =(n^2 - 2n + 1) + (n^2 + 10n + 25) + (n^2 + 14n + 49) + 10 =\)

\(= n^2 - 2n + 1 + n^2 + 10n + 25 + n^2 + 14n + 49 + 10 =\)

\(=3n^2 + ( -2n + 10n + 14n ) + (1 + 25 + 49 + 10)= \)

\(= 3n^2 + 22n + 85. \)

3) \(3n^2 + 22n + 85 = 3n^2 + 22n + 85\) - верно при любом \(n\).

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) Формулы раскрытия скобок:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

2) Сложение многочленов: нужно объединять одинаковые степени \(n^2\), \(n\) и свободные члены.

3) Тождественное равенство многочленов: два многочлена равны при всех \(n\), если равны коэффициенты при одинаковых степенях.

В пункте а) мы подставили конкретное значение \(n=3\) и убедились, что обе части дают одно и то же число.

В пункте б) мы расписали каждую скобку по формуле и затем сложили подобные члены, получив выражения одной и той же формы

\(3n^2 + 22n + 85\).

Это доказывает тождественное равенство при любом \(n\).

а) \((x - 10)^2 - x(x + 80) =\)

\(=\cancel{x^2} - 20x + 100 - \cancel{x^2} - 80x=\)

\(= -100x + 100\).

При \(x = 0,97\):

\(-100 \cdot 0,97 + 100 =\)

\(=-97 + 100 = 3\).

б) \((2x + 9)^2 - x(4x + 31) =\)

\(=\cancel{4x^2} + 36x + 81 - \cancel{4x^2} - 31x=\)

\(= 5x + 81\).

При \(x = -16,2\):

\(5 \cdot (-16,2) + 81 = -81 + 81 = 0\).

в) \((2x + 0,5)^2 - (2x - 0,5)^2 =\)

\(=4x^2 + 2x + 0,25 - (4x^2 - 2x + 0,25)=\)

\(= \cancel{4x^2} + 2x + \cancel{0,25} - \cancel{4x^2} + 2x - \cancel{0,25}=\)

\(= 4x\).

При \(x = -3,5\):

\(4 \cdot (-3,5) = -14\)

г) \((0,1x - 8)^2 + (0,1x + 8)^2 =\)

\(=0,01x^2 - \cancel{1,6x} + 64 + 0,01x^2 + \cancel{1,6x} + 64=\)

\(= 0,02x^2 + 128\)

При \(x = -10\):

\(0,02 \cdot 100 + 128 = 2 + 128 = 130\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

5) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

6) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

а) Для упрощения раскрыли \((x-10)^2\) по формуле квадрата разности и раскрыли произведение \(x(x+80)\). Привели подобные члены:

\(x^2 - x^2 = 0\),

\(-20x - 80x = -100x\),

оставили число \(100\).

При подстановке \(x=0,97\) вычислили по порядку действий.

б) Раскрыли квадрат суммы \((2x+9)^2\) и произведение \(x(4x+31)\). Привели подобные члены:

\(4x^2 - 4x^2 = 0\),

\(36x - 31x = 5x\),

оставили число \(81\).

При \(x=-16,2\) значение равно нулю.

в) Раскрыли оба квадрата: \((2x + 0,5)^2\) и \((2x - 0,5)^2 =\). Привели подобные члены:

\(4x^2 -4x^2=0\),

\(2x+2x=4x\),

\(0,25-0,25=0\).

При \(x=-3,5\) получаем \(-14\).

г) Раскрыли оба квадрата \((0,1x - 8)^2\) и \((0,1x + 8)^2\). Привели квадратичные члены:

\(0,01x^2 + 0,01x^2=0,02x^2\),

\( -1,6x + 1,6x=0\),

\(64 + 64 = 128\).

Подставили \(x=-10\) и вычислили конечное значение \(130\).