Упражнение 819 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 168

а) \((2x + 3)^2 =\)

\(=(2x)^2 + 2\cdot2x\cdot3 + 3^2 =\)

\(=4x^2 + 12x + 9.\)

б) \((7y - 6)^2 = \)

\(=(7y)^2 - 2\cdot7y\cdot6 + 6^2 =\)

\(=49y^2 - 84y + 36.\)

в) \((10 + 8k)^2 =\)

\(=10^2 + 2\cdot10\cdot8k + (8k)^2 =\)

\(=100 + 160k + 64k^2.\)

г) \((5y - 4x)^2 =\)

\(=(5y)^2 - 2\cdot5y\cdot(4x) + (4x)^2 =\)

\(=25y^2 - 40xy + 16x^2.\)

д) \(\bigl(5a + \tfrac{1}{5}b\bigr)^2 =\)

\(=(5a)^2 + 2\cdot5a\cdot\tfrac{1}{5}b + \bigl(\tfrac{1}{5}b\bigr)^2 =\)

\(=25a^2 + 2ab + \tfrac{1}{25}b^2.\)

е) \(\bigl(\tfrac{1}{4}m - 2n\bigr)^2 =\)

\(=\bigl(\tfrac{1}{4}m\bigr)^2 - 2\cdot\tfrac{1}{4}m\cdot(2n) + (2n)^2 =\)

\(=\tfrac{1}{16}m^2 - m n + 4n^2.\)

ж) \((0{,}3x - 0{,}5a)^2 =\)

\(=(0{,}3x)^2 - 2\cdot0{,}3x\cdot(0{,}5a) + (0{,}5a)^2 =\)

\(=0{,}09x^2 - 0{,}3xa + 0{,}25a^2.\)

з) \((10c + 0{,}1y)^2 =\)

\(=(10c)^2 + 2\cdot10c\cdot0{,}1y + (0{,}1y)^2 =\)

\(=100c^2 + 2c y + 0{,}01y^2.\)

и) \((0{,}1b - 10a)^2 =\)

\(=(0{,}1b)^2 - 2\cdot0{,}1b\cdot(10a) + (10a)^2 =\)

\(=0{,}01b^2 - 2b a + 100a^2.\)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) Затем выполняем возведение в степень, используя свойство возведения произведения в степень:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

а) \((x - 6)^2 - x(x + 8) = 2\)

\(\cancel{x^2} - 12x + 36 - \cancel{x^2} - 8x = 2\)

\( -20x + 36 = 2\)

\( -20x = 2-36\)

\(-20x = -34\)

\(x =\frac{17}{10}\).

\(x =1,7\).

Ответ: \(x =1,7\).

б) \(9x(x + 6) - (3x + 1)^2 = 1\)

\(9x^2 + 54x - (9x^2 + 6x + 1) = 1\)

\(\cancel{9x^2} + 54x - \cancel{9x^2} - 6x - 1 = 1\)

\(48x - 1 = 1\)

\(48x = 1 + 1\)

\(48x = 2\)

\(x = \frac{2}{48}\).

\(x = \frac{1}{24}\).

Ответ: \(x = \frac{1}{24}\).

в) \(y(y - 1) - (y - 5)^2 = 2\)

\(^2 - y - (y^2 - 10y + 25) = 2\)

\(\cancel{y^2} - y - \cancel{y^2} + 10y - 25 = 2\)

\(9y - 25 = 2\)

\(9y = 2 + 25\)

\(9y = 27\)

\(y = \frac{27}{9}\).

\(y = 3\).

Ответ: \(y = 3\).

г) \(16y(2 - y) + (4y - 5)^2 = 0\)

\(32y - 16y^2 + (16y^2 - 40y + 25) = 0\)

\(32y - \cancel{16y^2} + \cancel{16y^2} - 40y + 25 = 0\)

\(-8y + 25 = 0\)

\(-8y = -25\)

\(y = \frac{25}{8}\)

\(y = 3\frac{1}{8}\)

Ответ: \(y = 3\frac{1}{8}\).

Пояснения:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) При раскрытии формул, использовали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

4) Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + ac\).

5) Вычитание одного многочлена из другого: у многочлена, перед которым стоит знак минус, при раскрытии скобок нужно поменять все знаки на противоположные.

6) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

7) Корни уравнения не изменяются если слагаемые перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом их знаки.

8) Линейное уравнение вида \(ax=b\) при \(a\neq0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

В каждом уравнении сначала раскрываем скобки по формуле или умножив одночлен на многочлен, затем в левой части уравнения приводим подобные и сокращаем противоположные, далее все числа, не содержащие переменные, переносим в правую часть, изменив их знаки, и находим корень полученного линейного уравнения.