Упражнение 823 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( (a - b)^2 =(b - a)^2\)

\( a^2 - 2ab + b^2= b^2 - 2ba + a^2 \)

\(a^2 - 2ab + b^2 =a^2 - 2ab + b^2 \)

б) \( ( -a - b )^2 = (a + b)^2.\)

\(-(a + b)^2 = (a + b)^2 \)

\((a + b)^2 = (a + b)^2 \)

Пояснения:

1. Формула квадрата разности:

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. \)

2. Квадрат выражения нечувствителен к смене знака перед ним:

\(( -a-b )^2 = (a+b)^2 \),

В пункте а) оба выражения при раскрытии дают одно и то же многочлен \(a^2 - 2ab + b^2\).

В пункте б) достаточно заметить, что под знаком квадрата стоит отрицание суммы, которое при возведении в квадрат исчезает.

а) \( a(a + 9b)^2 =\)

\(=a\bigl(a^2 + 18ab + 81b^2\bigr) =\)

\(=a^3 + 18a^2b + 81ab^2. \)

б) \( 6x(x^2 + 5x)^2 =\))

\(=6x\bigl(x^4 + 10x^3 + 25x^2\bigr) =\)

\(=6x^5 + 60x^4 + 150x^3. \)

в) \( (a + 2)(a - 1)^2 =\)

\(=(a + 2)\bigl(a^2 - 2a + 1\bigr) =\)

\(=a^3 - 2a^2 + a + 2a^2 - 4a + 2 =\)

\(=a^3 - 3a + 2. \)

г) \( (x - 4)(x + 2)^2 =\)

\(=(x - 4)\bigl(x^2 + 4x + 4\bigr) =\)

\(=x^3 + 4x^2 + 4x - 4x^2 - 16x - 16 =\)

\(=x^3 - 12x - 16. \)

Пояснения:

Использованные правила и приёмы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

3) Умножение одночлена на многочлен:

\(k\cdot(a + b + c) = ka + kb + kc\).

4) Умножение многочлена многочлен: каждый член первого многочлена, умножают на каждый член второго многочлена.

5) При выполнении преобразований, использовали свойства степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)

\((a^m)^n = a^{mn};\)

\(a^m\cdot{a^n} = a^{m+n}.\)

6) Правило сложения подобных членов: складываем коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

\(ax + bx=(a+b)x\).

а) Сначала разложили квадрат:

\((a+9b)^2 = a^2 + 18ab + 81b^2\), затем умножили каждый член на \(a\).

б) Внутри квадратного выражения получилось \((x^2 + 5x)^2 = x^4 + 10x^3 + 25x^2\), после чего каждый член умножили на \(6x\).

в) Раскрыли \((a-1)^2 = a^2 - 2a + 1\), затем умножили многочлен на \((a+2)\) и собрали подобные члены, сократив \(a^2\)-члены.

г) Вычислили \((x+2)^2 = x^2 + 4x + 4\), умножили на \((x-4)\), раскрыли скобки и объединили подобные члены, что дало \(x^3 - 12x - 16\).